Wilhelmus van Dathenus

De verwijzingen, bestaande uit de letter en de bladzijde, zijn naar:

[B] Martine de Bruin, Een nóg ouder geuzenliedboek: signalement van de druk [1576-1577] met de oudst bekende Nederlandse Wilhelmustekst. In: De fiere nachtegaal: het Nederlandse lied in de middeleeuwen, 2008, pp. 231-250 (hier)

[E] J.-W. Enschedé, Les origines du Wilhelmus van Nassauwe, chant national Néerlandais, Bulletin de la Commission de l'Histoire des églises wallonnes, deuxième série, T.II, 1899, pp. 341-386 (hier)

[K] Mike Kestemont, Els Stronks, Martine de Bruin, Tim de Winkel, Van wie is het Wilhelmus? Amsterdam University Press 2017 (hier)

[M] Abraham Maljaars, Het Wilhelmus: auteurschap, datering en strekking. Een kritische toetsing en nieuwe interpretatie,  Uitgeverij Kok — Kampen 1996

[P] Jop Pollmann,  Ons eigen volkslied,  H.J. Paris Amsterdam 1936 (hier)

[R] Theodorus Ruys, Petrus Dathenus, proefschrift V.U. Amsterdam, 1919 (hier)

[S] J. G. Sterck, Bronnen en samenstelling van Marnix' Biënkorf der H. Roomsche Kercke, De Vlaamse Drukkerij, 1952 (relevante bladzijde hier)

[V] Guido Vandermarliere, archief Poperinge, jaarboek 1570 (hier op internet en hier als pdf)

[VD] F. van Duyse, Het oude Nederlandsche lied, vol. II, 1905 (hier)

1. Dathenus,  een plat vlamijnck

De Nederlandse tekst van het Wilhelmus is geschreven tussen mei 1568 en 1573. In de oudste drukken (ca. 1576) wordt als zangwijze gegeven: naar de wijse van Chartres.  Pas in recente jaren is min of meer vast komen te staan hoe deze Franse stad de geboorteplaats geworden is van het Wilhelmus, en door wiens toedoen dat in zijn werk is gegaan. De man die ons zowel de tekst als de muziek van het Wilhelmus bezorgd heeft heette Pieter Dat(h)en. Hij is geboren in Kassel, hoofdplaats van een van de zuidelijke kasselrijen van het graafschap Vlaanderen (kaart hierboven) en is karmeliet geweest in Ieper. Dit alles weten we met zekerheid uit eigentijdse ambtelijke documenten. 

Den eersten in november xvc zessentzestich tsnuchtens, tusschen den neghen ende thien hueren, voor Meester Cornelis, Ruddere, heere van den Coornhuuse, hooch bailliu der stede ende casselrie van Ypre, Ghilein Bulteel voorschepene Frans Inghelvert ende Jan Marmal, scepenen der voornoemde stede, compareerde Pieter Daten, filius Pieter, ghebooren van Cassel, enz. 

Ce jourd’huy est advenu que deux prescheurs de la religion nouvelle ayans faict devant nous le serment requiz, à scavoier Carle Ryckewaert, natyf de Noeufesglise et Pieter Daten, natyf de Cassel, quy fust jadiz moine au cloistre des Carmes lez ceste ville, ont presché, en un mesme temps, au lieu désigné pour les presches nouvelles hors de ceste ville, faisant l’un son sermon en langue flamingue et l’aultre en langaige francoyse....

Up den alderheyligen dach werdt Pieter Dathen, apostaet van den clooster van der camers nevens Ypre, by eenighe vander nieuwe religie die vander wet ghepresenteert omme ook hunlieer predicant te wezen... ende dien volghende hebben de zelve Pieter Dathen ende Carle Ryckewaert, beide up eenen tydt ghepredict up den tweeden dach van november, te weten de voorseide Dathen in vlaemsche ende de voorseide Caerle in walsche tale

[V, waar ook nog Jan Daten en Joris Daten/Datin uit Poperinge vermeld worden als mogelijke verwanten.] Naar de gewoonte van die tijd noemde Pieter Daten zich Petrus Dathenus, en wij zullen hem daarin volgen. Zijn Latijnse naam gaf aanleiding tot de vernederlandste vorm Datheen. Men leest wel dat die naam zou betekenen "D'Athènes" (van Athene), wegens de geleerdheid van de drager, maar dan moet die geleerdheid wel erfelijk geweest zijn, want zijn vader (en nog een aantal anderen) heetten ook zo!  

Dathenus gaat door als de grondlegger van het calvinisme in de Lage Landen. Zijn theologische carrière bracht hem, behalve in de Nederlanden, ook in Engeland, Frankrijk, Zwitserland en Duitsland. In 1566 zette hij de Psalmen Davids uit het Frans in Nederlandse gedichten om. Sommige tijdgenoten ergerden zich aan zijn gekunstelde taal, terwijl hij toch een doodgewone Vlaming was.

Ja selfs Dathenus die een plat vlamijnck es, heeft zijne zalmen [d.i. psalmen] zo verduudst dat vele bekennen dat zij die tale nyet en zouden cônen verstaen. [S 34, citaat uit 1581]

Zijn psalmberijming vond onmiddellijk ingang in de Gereformeerde Kerk, en zou daar eeuwenlang een grote rol blijven blijven. Dathenus nam niet alleen de teksten, maar ook de melodieën uit zijn Franse voorbeeld over. Om die reden was hij verplicht een even groot aantal lettergrepen te behouden, met onnatuurlijke klemtonen en een gekunstelde zangwijze als gevolg. Maar het zou onterecht zijn als men Dathenus louter om die reden een minderwaardig dichter zou noemen. Alle contrafacten uit die tijd zijn gemaakt door dichters die zich niet om de Nederlandse klemtonen bekommeren. Zo hoort men in het lied O Godt hoe wonderlijken (verderop weergegeven) in de eerste strofe: wonderLIJK en welDAAD. En in zijn Prinselied, een aanpassing van het Wilhelmus, heeft de grote Vondel het ongegeneerd over FreDErik en vrijHEden.

Tijdens verschillende episodes speelde Dathenus een grote rol in het calvinistische bolwerk Gent. In 1579 verliet hij de stad na een frontale aanval tegen Willem van Oranje omwille van diens godsdienstige tolerantie (of onverschilligheid? Oranje is achtereenvolgens lutheraan, katholiek en calvinist geweest). Het Wilhelmus dateert uiteraard van vóór die breuk.

2. de muziek

Deze oudste druk van de melodie van het Wilhelmus verscheen in Antwerpen in 1574, als Een liedeken op de wijze van Condé. 

De melodie van 1574 mag zonder enige twijfel voor de juiste lezing gehouden worden; de melodie is zes jaren na het ontstaan van het Wilhelmus genoteerd en neemt bovendien alle coupletten zeer vlot op. [P 135]

Hieronder de melodie in moderne notatie, met als teksten

1. de oorspronkelijke Franse tekst uit 1568, katholiek en gericht tegen de hugenoot Condé

2. de eerste strofe van het Antwerps lied uit 1574, eveneens uit katholieke hoek

3. de eerste strofe van het Wilhelmus, tekst van 1576-1577 [B]

 

Hier te beluisteren (synthetische uitvoering op trombone, m.b.v. MuseScore)

3. de dichter

De auteur van het Wilhelmus heeft zich nooit bekendgemaakt. Lange tijd heeft men gedacht dat Marnix van Sint Aldegonde de dichter was, maar dat is in 1995 door Maljaars afdoende weerlegd. Tot de vele argumenten behoort o.m. dat het Wilhelmus als dichtwerk ver achter blijft bij de poëtische vaardigheden van Marnix. Dathenus, daarentegen, was in de eerste plaats een vertaler, en zijn poëtisch vakmanschap is niet van de eerste orde. 

In 1995 al had Maljaars [zie vooral zijn Bijlage I] aangetoond dat Dathenus dichter bij het Wilhelmus stond dan Marnix. In 2016 werden dan systematisch zes kandidaat-auteurs tegen elkaar afgewogen op grond van stijlkenmerken die door een computer verwerkt werden. 

Als we gebruik maken van de meest betrouwbare stylometrische analyses die we momenteel tot onze beschikking hebben, wordt Datheen onveranderlijk als de meest waarschijnlijke auteurskandidaat naar voren geschoven. [K 61]

Daarbij komt nog een uniek extra gegeven: Dathenus was aanwezig bij het beleg van Chartres. In het jaar 'des Heren' (zeg dat wel) 1568, tijdens de Franse burgeroorlog, sloeg de hugenoot Louis de Bourbon, prince de Condé het beleg rond de katholieke stad Chartres. Verder dan een bres in de stadswal kwamen de protestantse soldaten evenwel niet, en na twee maand werd vrede gesloten. Met Condé vocht ook een legertje van Johan Casimir van de Palts mee, met Dathenus als veldpredikant.

Weldra werd Datheen geroepen een nieuwe reis te gaan ondernemen, thans naar Frankrijk. Daar was nl. voor de tweede maal de burgeroorlog uitgebroken tusschen de Hugenoten en de Hofpartij, waarop de eersten de hulp hadden ingeroepen van den Calvinistischen Keurvorst. Deze aarzelde niet op dit verzoek in te gaan en zond zijnen zoon, den hertog Johan Casimir, met een leger van 11000 man derwaarts, om de verdrukte geloofsgenooten bij te staan. En opdat het leger gedurende dien tijd niet geheel van geestelijke bearbeiding verstoken zou zijn, zond hij zijn hoftheoloog Datheen mede, om als veldprediker en tevens als raadsheer van zijn zoon dienst te doen. Jammer genoeg is ons van Datheen's lotgevallen gedurende dezen tocht niets bekend. En evenmin weten wij met zekerheid, wanneer hij met het leger naar Frankrijk vertrokken is, noch ook, wanneer hij vandaar is weergekeerd. Vermoedelijk echter zal hij wel tot het einde van den strijd bij de troepen gebleven zijn, want naar de meening van sommige schrijvers heeft ook hij behoord tot degenen, die vredessluiting met het Fransche hof hebben afgeraden, toen daarom in 't begin van 1568 werd gevraagd. [R 79]

Hoewel de bewijzen nogal onrechtstreeks zijn kunnen wij er toch van uitgaan dat Dathenus persoonlijk bij het beleg van Chartres aanwezig was.

Het beleg van Chartres werd aangevangen in Januari 1568; de vrede werd getekend den 23sten Maart 1568; zie J.W. Enschedé [E 348], die ons tevens leert hoe, na het sluiten van den vrede, de Paltzgraaf Jan Casimir, die met Condé het beleg van Chartres had medegemaakt, naar Duishurg trok om den Prins van Oranje zijne krijgsbende aan te bieden, en hoe, ofschoon geldgebrek den Prins verhinderde van dit aanbod gebruik te maken, deze of anderen op zijn naam een deel van die krijgers hebben kunnen aannemen, waaronder er zich wellicht bevonden die het lied uit Frankrijk hadden meegebracht. [VD 1638]

Van Duyse kon toen niet vermoeden dat onder die krijgers die het lied uit Frankrijk hadden meegebracht zich ook de tekstdichter zelf van het Wilhelmus bevond: Pieter Datheen. 

Datheen was, anders dan Oranje, een militant calvinist, zodat het bevreemding wekt dat in het Wilhelmus de vervolging van de nieuwe religie niet aan bod komt. Dat zou erop kunnen wijzen dat het Wilhelmus een opdracht (van Oranje?) is, met een duidelijk omlijnde inhoud, of —eerder nog— een vertaling van een al bestaand lied. Vergeten we niet dat Dathenus in de eerste plaats een vertaler was, van wie (denk ik toch) geen oorspronkelijk dichtwerk bekend is. En de Franse vertaling van het Wilhelmus door Gabriel Fourmennois, uit ca. 1582, heeft als titel

Chanson composée à la louange et honneur de Monseigneur le Prince d'Orange, selon le translateur Flameng [M 203-209 en Bijlage IV]

Was Dathenus, de plat vlamijnck, die translateur Flameng? Maar als dat origineel echt bestaan heeft, in welke taal was het dan? 

Update 28 mei 2022. Toen ik, om mijn penvaardigheid te oefenen, het Wilhelmus overschreef, botste ik in de tweede strofe op het woord luyden (om Luyd ghebracht). Met dit ene woord, in de twaalfde regel, valt Dathen onmiddellijk af als mogelijk auteur. Vlamingen gebruiken namelijk niet luyden maar lieden, zoals zij kieken zouden schrijven, en niet kuiken! In Dathens vertaling van de psalmen Davids (hier te consulteren) vinden we Krijghslieden, allen lieden, speellieden, hem lieden en Amtlieden, terwijl luyden helemaal ontbreekt. De dichter van het Wilhelmus moeten we dus zoeken onder de luyden die op onderstaand kaartje (donker=lieden, licht=luyden, hier) in de lichtgekleurde gebieden leven.

Update 2 oktober 2022. Van deskundige zijde is mij gewezen op de mogelijkheid dat in de verzen 

Daerom ben ick verdreven, 

Om landt en luyd' gebracht,

de uitdrukking landt en luyd' een germanisme zou kunnen zijn dat als zodanig niet het taaleigen van de auteur weerspiegelt. Met name schrijft Maljaars [hier, p. 26]

De vorm luyd, zoals in de Standaardtekst, is in het zestiende-eeuwse Nederlands ongewoon; het is luiden of lieden. Hier heeft men een germanisme "pur sang" (Land und Leut, een vaak voorkomende combinatie). 

Dit argument lijkt ons erg zwak. Een dichter die een lettergreep wil uitsparen schrijft toch gewoon luyd, soms zelfs expliciet luyd' (met afkappingsteken), in plaats van luyden? Zo bijvoorbeeld [Geuzenliedboek p.144]

Ghy gingstse verdryven de vrome luyd, 

Ja eeuwich ghebannen ter Poorten uyt.

Evenzo is de standaarduitdrukking in het Duits Land und Leute, [MNW, hier, onder LIEDE 3.b] waarvan Land und Leut enkel een occasionale afkorting is. En het is bepaald niet nodig om voor Landt en Luyden naar het Duitse Land und Leute te grijpen, want die allitererende combinatie was, in vele varianten, in het Nederlands evenzeer gebruikelijk [Verdam, Taalk. Bijdr. 2, 237, hier] Om eens een andere would-be dichter van het Wilhelmus te citeren: Coornhert vernoemt Landt en luyden in zijn 'T Roerspel vande Kettersche Weerelt (derde kwart van de 16de eeuw). Een vluchtige blik in het werk van Marnix leert dat ook hij uitsluitend lieden en geen enkele keer luyden gebruikt.

In het Geuzenliedboek treft men zowel het Noordelijke Lant en Luyden (p.133) als het Zuidelijke Land en Lien (p.122) aan. Als Dathenus of Marnix de dichter was geweest hadden wij waarschijnlijk gelezen:

Daerom ben ick verdreven, 

Om landt en lien gebracht.

Een bladzijde Reve (2)

 Uit Oud En Eenzaam (1978)

Het werd, iedere zomer, hetzij thuis blijven, hetzij tegen het einde van de vakantietijd een week ergens kamperen op een overvol terrein vol regenplassen en hondedrek, tenminste als het gelukte van 'kameraden' een tent te lenen, zo mogelijk één die al ergens was opgezet en in het twijfelachtig naseizoen nog even mocht blijven staan, want tot het zelf opzetten van zulk een uitvinding was bij ons thuis niemand in staat. 

   Een probleem op zichzelf vormde voorts de reis, want voor het gebruik van trein of autobus ontbraken ons te enen male de middelen. Aldus begaven wij ons naar het recreatieterrein met het vervoermiddel dat ik als het symbool van de Nederlandse onmacht heb leren beschouwen en heb leren haten en dat ik, nadat ik op eigen benen stond, nooit meer heb bestegen: de fiets. 

   Met ons vieren hadden we drie fietsen, elk voor bijna niets maar toch voor anderhalve of twee gulden te duur van 'kameraden' gekocht, waarvan er geen een behoorlijk functioneerde. Van mijn moeders fiets knarste en knalde bij het sturen gedurig het 'balhoofd'. De fiets van mijn vader had een of andere ellende in de trapas die, door een stroef draaiende kogellager, onredelijk veel extra trapkracht van de berijder eiste. (Vele jaren later, toen ik als leerling-journalist bij het dagblad Het Parool de gestage stroom van querulanten, stennismakers en uitvinders van het perpetuum mobile te woord moest staan, zou een man mij — met de blauwdrukken erbij — het ontwerp van een fiets tonen waarin van achteren meer energie voor het achterwiel uitkwam dan de berijder er in het midden met de kracht zijner trappende benen aan schonk.)    

   Aan de fiets van mijn broer deugde ook iets niet, al weet ik niet meer wat: ik geloof, dat een of ander belangrijk onderdeel op hinderlijke wijze krom was. 

   Wanneer ik mijn eigen fiets kreeg, weet ik mij niet meer te herinneren. In ieder geval bezat ik die nog niet ten tijde van het gebeuren, dat ik mij nu begonnen was te binnen te brengen. Met ons vieren verplaatsten wij ons op drie fietsen. Dit betekende, dat ik op de bagagedrager van de fiets van mijn vader zat, mijn voeten rustend op twee aan weerszijden van de achterwielen op de achteras aangeschroefde uitsteeksels, die steppen werden genoemd, vermoedelijk omdat men oudere mensen die nog wel eens, in plaats van één der trappers, voor het bestijgen van hun rijwiel zag bezigen. Ook die bagagedrager was van 'kameraden' gekocht, en was in zoverre modern, dat hij van achteren op twee telescoopveren rustte, die echter bijna al hun verend vermogen verloren hadden en bij de geringste oneffenheid van de weg met een voor de passagier pijnlijke schok in hun diepste stand stuitten. 

   Eigenlijk konden mijn ouders geen van beiden fietsen. Mijn vader lette weinig op, en kwam door het niet opmerken van obstakels op het wegdek dikwijls ten val. Ook brak, met een tussentijd van slechts enkele weken, twee maal zijn voorvork, beide keren in dezelfde straat en bij hetzelfde huis, middendoor, zonder dat er aan het plaveisel ter plaatse iets bijzonders viel op te merken. Ik heb noch daarvoor, noch daarna in mijn leven ooit medegemaakt, dat de voorvork van iemands rijwiel zonder uitwendig geweld brak, en ben het feit, met de coïncidentie van zijn verdubbeling, altijd op zijn minst merkwaardig blijven vinden. Misschien symboliseerden huisnummer, straatnaam of naam van de bewoner van het desbetreffende huis — mij nu, evenals toen, onbekend — op een of andere wijze het noodlot dat, nog ongeweten, boven ons gezin hing, maar pogingen om een samenhang op te sporen heb ik nooit gedaan en zal ik, nu het allang te laat is, ook niet meer doen: de stadswijk, met straat en al, is inmiddels al lang afgebroken en met de betonnen zelfmoorddozen van het socialisme volgezet. 

   Op de dag waarop de episode waaraan ik terugdacht begon, een Zaterdag, begaven wij ons, als gewoonlijk door allerlei oponthoud veel later dan het plan was, des namiddags met ons drieën — mijn ouders en ik — op twee fietsen op weg naar ons reisdoel. Het was koel, winderig weder, en wij vorderden, door tegenwind, slechts langzaam. Daar kwam bij dat mijn moeder, zodra zij een redelijke snelheid had bereikt, ophield met trappen totdat de fiets zo ongeveer tot stilstand was gekomen. In het hedendaagse verkeer zouden haar overlevingskansen gering zijn geweest: ze kon wel op normale wijze haar fiets bestijgen, maar voor het afstappen volgde ze een bijna clowneske procedure: ze minderde — door niet meer te trappen — vaart tot de fiets bijna omviel en stortte er zich dan al struikelende vanaf, niet zelden zich daarbij bezerend, en enkele malen haar knieën verwondend. 

   We bezaten wel degelijk enig elementair reparatiemateriaal voor de banden, maar dit werd nooit medegenomen. Ook kwam het bij niemand op, dat het zijn nut kon hebben enig drinken, al waren het slechts één of twee flessen water mede te nemen, waardoor onveranderlijk in het verloop van de tocht iedereen verging van de dorst. 

   Al met al vorderde men die dag toch — mijn vader, met mij achterop, vooraan en mijn moeder achter hem aan fietsend — waarbij zich bij mijn vader altijd van lieverlede een virulente gassigheid ontwikkelde zodat hij zich van tijd tot tijd, misschien omdat hij ooit bij de cavalerie had gediend, uit het zadel verhief teneinde krachtig uit zijn achterste te hoesten. 

Een bladzijde Reve (1)

Uit De Taal der Liefde (1972) 

Leunend op een elleboog staarde ik voor mij uit, en kreeg ik een onbestemde herinnering aan een middag, waarop ik in een lege autobus had gezeten, rechts aan het raam, en mij van alles was voorbijgekomen. Wanneer was dat toch geweest, en wat betekende die onbenullige herinnering? In het water van de sloten die maar voorbij bleven komen — niets dan sloten in dat lege land —lagen oude plastic kunstmestzakken, doorgeroeste olievaten, het onderstel van een automobiel en zelfs een kinderkruiwagentje met het wiel naar boven. En een fles had ik toen gezien, een gewone groene driekwartliter fles, die nog maar op het nippertje dreef en, rechtopstaand, nog maar net met zijn halsopening boven het wateroppervlak uitstak. Iemand had die fles maar één enkel duwtje behoeven te geven, en zij zou voorgoed zijn gezonken, en niemand, in hoe vele volgende autobussen rechts aan het raam zittend ook, had haar meer behoeven te zien, maar het was de vraag of iemand het gedaan had. Er schoot mij te binnen dat ik lang geleden een soort Glazen Periode had gehad, waarin ik verzot was geweest op glazen stolpen, gekleurde flessen en, vooral later, op glazen karaffen. Indië waren we toen al lang kwijt, maar alles was nog niet zo krankzinnig duur geworden als nu: de karaffen kocht ik voor ongeveer twee kwartjes, vijfenzeventig cent of één gulden op het Waterlooplein. Echt antiek waren ze niet geweest, maar sommige ervan hadden wel een verweerde glans gehad als van verbleekt parelmoer of het oppervlak van door olie verontreinigd vaarwater. Spoedig had ik reeds acht karaffen bezeten, en zeer trots was ik geweest op de aankoop, voor slechts vijfendertig cent, van een aan de schenktuit iets beschadigde karaf, welke beschadiging ik echter met een stuk carborundsteen zelf had weten weg te slijpen. Stoppen waren er helaas niet bij geweest, maar op zekere dag had ik op de markt ergens op een bakfiets een bergje glazen stoppen aangetroffen in diverse kleuren, voor tien en vijftien cent het stuk, en ik herinnerde mij nu zeer wel, hoe ik voor alle zekerheid maar tien van die glazen stoppen had gekocht en die thuis, hevig zwetend, op alle karafopeningen had zitten proberen, zonder dat er ook maar één enkele stop op één enkele van de karaffen was gebleken te passen, hoe lang ik ook, eerst met en toen zonder systeem, als een verbaasde aap in een komische film, mijn pogingen was blijven voortzetten. Ik moest wel veel geluk in de liefde hebben. Sommige mensen hadden in de liefde minder geluk dan anderen. Ik dacht aan de dichter Koos S. Waar woonde die toen ook weer? Achttien, negentien jaren geleden? Op de Willemsparkweg, dacht ik, in een deftige krotwoning, met verscheidene kinderen en zijn vrouw, Bauk of Pauk geheten, die, terwijl hij en ik in de huiskamer wat praatten, ongeveer iedere drie kwartier in de deuropening verscheen om hem met een duidelijk 'Kom op, Koos', naar de één verdieping hoger gelegen slaapkamer mede te nemen, vanwaar hij na een minuut of tien vermoeid en ietwat aangelopen telkens weer afdaalde — een keer of vijf, zes wel, gedurende die merkwaardige middag, waarvan ik niet veel begreep en waarop het hevig eh donker woei. De uitgeverij van zijn dichtwerk had een groot afscheidsfeest gegeven toen hij met vrouw en kinderen, voor de dreigende Derde Wereldoorlog uit, naar Australië emigreerde waar Bauk of Pauk reeds veertien dagen na hun aankomst van hem en de drie kinderen wegliep met een bakker. Wel had de Nederlandse regering hem, Koos dus, voor vijftienhonderd of tweeduizend gulden de vererende opdracht gegeven tot het schrijven van een 'verantwoord' werk van letterkunde dat moest handelen over de problematiek van een Nederlander of Nederlanders in een heel ander land, en dat ooit zelfs verscheen en De spotvogel lacht heette. Eerst een heleboel keren, en toen helemaal niet meer; het kon eigenlijk niet uitblijven. De liefde kwam vroeg, of de liefde kwam laat, maar de liefde kwam niet de hele tijd, dat kon niet. Het beroep van Bauk of Pauk haar minnaar bracht mij ook weer de zeer late idylle in herinnering van mijn tante Jans die, dichter bij de zeventig dan bij de zestig, nog een buitenechtelijke verhouding was aangegaan met een bakker die echter, blijkens het zeer laatdunkende commentaar van mijn familie, geen bakker doch slechts een 'broodslijter' zou zijn geweest. Maar wat haalde het allemaal uit — een lege autobus voortrazend door een leeg land, een fles in een sloot die eigenlijk ondergeduwd had dienen te worden, acht karaffen zonder stop, een man zonder vrouw, en een vrouw met een bakker die geen bakker was? 

'Ach Woelrat, lieve Broer, ik word geloof ik weer erg bedroefd.' 

'Niks hoor, jij wordt helemaal niet bedroefd.' 

'Nee?'

'Nee hoor, geen sprake van.'


'Goddank. Ik dacht ook al. Ik ben blij, dat ik zo gelukkig ben. Eén onafgebroken juichende toon stijgt in me op.' 

De regenboog (3)

(vervolg van deel 2)

Regenbogen van orde 3-4-5

De regenbogen van orde 3 en 4 worden gevormd omheen de zon. Op de foto hieronder (Michael Theusner, 5 oktober 2011, hier) staat de zon links, en zijn de bogen van orde 3 en 4 in het midden van het beeld te zien, respectievelijk met het rood aan de buitenkant en aan de binnenkant.

De regenboog van orde 5 bevindt zich tussen de bogen van orde 1 (eronder) en orde 2 (erboven), en met de laatste overlapt hij gedeeltelijk. Men moet hem waarnemen met de zon in de rug. 'Waarnemen' is hier niet al te letterlijk te nemen. Deze regenboog komt pas te voorschijn op speciaal bewerkte foto's, en dan nog ziet men enkel de vage bogen violet en groen, b.v. in de opname hieronder (Frank Killich, 22 april 2012, hier, waar ook de onbewerkte foto staat). 

'Dichtbije' regenbogen

Een regenboog is niet iets materieels dat zich op een bepaalde 'plaats' bevindt. Het een waarneming gevormd door stralen die het oog van de waarnemer vanuit bepaalde richtingen bereiken. Elke waarnemer vormt zijn eigen beeld, en zelfs elk afzonderlijk oog van de waarnemer ziet zijn eigen regenboog. Kijkt men naar een bepaald punt 'op' de regenboog, dan eindigt de rechte lijn in die richting uiteraard bij een waterdruppel, waar de waargenomen zonnestraal gebroken en teruggekaatst is. Die bepaalde waterdruppel kan dichtbij of veraf zijn, en kan zich bijvoorbeeld bevinden in nauwelijks waar te nemen neerslag of vochtige nevel die zich dichterbij bevindt dan men zou verwachten. 

De druppels waarin de regenboog ontstaat zijn meestal niet veel verder dan een of twee kilometer van ons verwijderd. In een bepaald geval zag ik de regenboog zich duidelijk aftekenen op de donkere achtergrond van een bos dat 20 m van mijn oog verwijderd was; de regenboog zelf vormde zich dus nog dichterbij. Verschillende waarnemers berichten dat afstanden van 3 of 4 meter soms voldoende zijn. [Minnaert, I, blz. 199]

Als men gelijktijdig met een regenboog in de lucht een regenboog zou creëren in een tuinsproeier, dan zou men zien (aannemend dat de waterdruppels ongeveer even groot zijn) dat zij één en dezelfde zijn!

Hieronder een spectaculair voorbeeld van een regenboog die duidelijk vóór de bergen 'op de grond' staat, een beetje zoals een kind hem zou tekenen (Wrangell-St. Elias National Park, Alaska). Het 'tegenpunt' van de zon is op deze foto ook te zien: het is de schaduw van het hoofd van de fotograaf, onderaan.

Nog wat betreft de terugkaatsing:

• er vallen soms zeer fijne regentjes die zonder bewolking ontstaan [Minnaert, I, blz. 199]
• het duurt verschillende minuten alvorens regendruppels de grond bereiken. In die tussentijd kan de wolk zelf al opgelost zijn.
• regendruppels oscilleren tijdens hun val, waarbij hun vorm periodiek uitgerekt en ingedrukt wordt [Minnaert, II, blz. 231]. De juiste breking/terugkaatsing voor een regenboog vereist niettemin druppels die bijna niet (niet meer dan 1 à 2 %) van de bolvorm afwijken. Dit betekent dus dat het licht van een regenboog teruggekaatst is van druppels die juist op dat ene moment de bolvorm hebben!

De regenboog (2)

(vervolg van deel 1)

Het principe

Bijna alle meetkundige aspecten van de regenboog kunnen verklaard worden door een zeer eenvoudig model: de breking en terugkaatsing van zonnelicht in een bolvormige regendruppel. Wij bekijken een druppel met straal 1, waarop een lichtstraal invalt van links af, evenwijdig met de x-as, op een afstand h boven de x-as. We beperken ons tot 0<h<1, en beelden de symmetrische straal, die invalt langs de rechte y=-h, niet af. Die tweede straal verlaat de regendruppel onder dezelfde hoek als de eerste, alleen met een ander teken (dus opwaarts als de eerste neerwaarts gericht is, of omgekeerd). De ruimtelijke configuratie, bestaande uit de druppel (die geen cirkel maar een bol is) en een bundel invallend licht, is symmetrisch om de x-as.  

We volgen de weg voor een rode lichtstraal, met brekingsindex N=1,3318. (De brekingsindex voor violet is groter.) Door de wet van Snellius is sin i = N sin r en r<i. De invallende straal wordt gebroken in I en vervolgt zijn weg langs een rechte die dichter bij de normaal ligt. Hij wordt teruggekaatst in T1 en verlaat de druppel in U. Het geheel traject is symmetrisch gelegen t.o.v. de middellijn door T1. De invallende straal ondergaat in I een richtingsverandering met grootte i-r (we meten alle hoeken in wijzerzin), in T1 een richtingsverandering met grootte 𝜋-2r, en in U opnieuw een richtingsverandering met grootte i-r. De totale richtingsverandering in wijzerzin is dus 2(i-r)+(𝜋-2r).

Een gedeelte van de lichtstralen verlaat de druppel niet in U, maar wordt een tweede keer teruggekaatst, eventueel een derde keer enzovoort. Gebeuren er k terugkaatsingen, dan ondergaat de invallende straal een totale richtingsverandering Δ = 2(i-r)+k(𝜋-2r). De figuur heeft ook nu een as van symmetrie. Is k oneven, dan is die as de middellijn door het middelste van de punten waar terugkaatsing gebeurt (b.v. T3 als de terugkaatsingen zijn in T1, T2, T3, T4, T5). Is k even, dan is de symmetrie-as de middelloodlijn op het lijnstuk bepaald door het eerste en het laatste punt van terugkaatsing (b.v., de middelloodlijn op T1T6 als de terugkaatsingen zijn in T1, T2, T3, T4, T5, T6).

Als een waarnemer kijkt naar het tegenpunt van de zon (m.a.w., de schaduw van zijn eigen hoofd), dan neemt hij de teruggekaatste zonnestraal waar onder een hoek met grootte 𝜋-Δ.  De invallende zonnestralen treffen de druppel onder alle mogelijke waarden van 0<h<1, en de waarnemer ontvangt dus ook teruggekaatste stralen die alle mogelijke hoeken vormen. In de stationaire punten van de functie Δ(h) (waar de afgeleide nul is) verandert de functiewaarde het traagst, m.a.w., de hoeken zijn voor iets kleinere en iets grotere waarden van h bijna dezelfde, zodat de teruggekaatste stralen ongeveer evenwijdig zijn. Uit richtingen die overeenkomen met die waarden van h ontvangt de waarnemer dus licht van de grootste intensiteit. In het geval van een rode lichtstraal ziet hij dus een rode cirkel die overeenkomt met een kegelmantel waarvan de top in zijn oog ligt en waarvan de halve openingshoek een grootte 𝜋-Δ heeft. Die rode cirkel, uiteraard beperkt door het terrein en de horizon, vormt samen met de andere kleurcirkels de regenboog. Voor elke waarde van k (het aantal terugkaatsingen) ontstaat in principe een regenboog maar door de afnemende lichtsterkte zijn doorgaans alleen de eerste en tweede duidelijk zichtbaar voor de niet-voorbereide waarnemer. 

Het zichtbaar deel van de kegelmantel voor de eerste regenboog. 

(W= waarnemer, T= tegenpunt van de zon). [Minnaert fig.119]

Het ontstaan van de eerste en de tweede regenboog. [Minnaert fig.126]

Het rekenwerk

Het komt er dus op aan de stationaire punten te vinden van K(h)= 𝜋-2(i-r)-k(𝜋-2r) als functie van h. (De tweede afgeleide moet niet onderzocht worden, want de redenering is evengoed geldig voor buigpunten met horizontale raaklijn als voor extrema.)

De tabel hieronder bevat voor de eerste zeven regenbogen de richting waarin men het rood en het violet waarneemt (uitgedrukt in graden, in tegenwijzerzin gemeten vanaf het tegenpunt van de zon), evenals de bijhorende waarde van h. Negatieve hoeken zijn van teken veranderd; dit betekent eigenlijk dat we de straal die invalt langs de rechte y=h vervangen door de symmetrisch gelegen straal langs y=-h. Voorts is 360° bijgeteld of afgetrokken om hoeken te krijgen tussen 0 en 180°. Een hoek groter dan 90° betekent dat de regenboog achter het hoofd van de waarnemer, dus in de richting van de zon, gevormd is. (Dit gebeurt uiteraard in regendruppels die zich tussen de zon en de waarnemer bevinden, niet in de regenwolken waar de waarnemer doorgaans naar kijkt, met de zon in de rug.)

De brekingsindex is voor rood N=1,3318 en voor violet N=1,3435. De berekende waarde voor K(h) is dus kleiner voor het violet dan voor het rood. Als 0< K(h)<90° dan vindt men aan de hemel het rood dus hoger dan het violet; dat is het geval voor k=1. Voor 90°<K(h)<180° betekent een grotere hoek natuurlijk een lagere positie aan de hemel.   

De kritische hoogte h0 waarop de zonnestraal de regendruppel treft neemt toe met k: van 0,86 voor de eerste regenboog tot ongeveer 0,99 vanaf de derde. Die regenbogen van hogere orde worden dus gevormd door zonnestralen die de druppels treffen onder een hoek van bijna 90°! De regenbogen worden ook breder naarmate k toeneemt.

Hieronder de eerste zeven regenbogen voorgesteld aan het uitspansel (W= waarnemer, TZ= tegenpunt van de zon), met voor elk het rood en het violet aangegeven. De vijfde regenboog is wat 'ingekort' afgebeeld omdat hij gedeeltelijk binnen de tweede valt. 

Behalve 1-2, die voor iedere ongeoefend oog zichtbaar zijn, zijn ook 3-4-5 fotografisch vastgelegd. Voor regenboog 6 wordt de kans op waarneming niet groot geacht, maar nummer 7 kan misschien ooit gevonden worden op foto's die op gepaste wijze bewerkt worden. (Zie hier.)

Literatuur

De literatuur over regenbogen is zeer uitgebreid. Wij vermelden enkel

M. Minnaert, De natuurkunde van 't vrije veld, deel 1, 1937 (hier)

H. Moysés Nussenzveig, The Theory of the Rainbow, Scientific American 236 (April 1977), pp. 116-128 (hier)

John A. Adam, The mathematical physics of rainbows and glories, Physics Reports 356 (2002), pp. 229-365 (hier)

(vervolgt in deel 3)

  

De regenboog (1)

De brekingswet van Snellius

De opvallendste kenmerken van regenbogen kan men uit zeer eenvoudige beginselen afleiden. In feite is het enige wat men als uitgangspunt moet aannemen: tussen twee punten volgt het licht de weg die het minst tijd vraagt. In deze eerste aflevering leiden we uit dit beginsel de brekingswet van Snellius af.

 

Twee media (bijvoorbeeld, lucht boven, water onder) zijn gescheiden door een vlakke grens. Het licht gaat uit van een punt A in het bovenste medium, en treft een punt B in het onderste medium. Afstanden a,b,c en hoeken 𝛼,𝛽 zoals in de figuur. We willen x zo bepalen dat de benodigde tijd minimaal is.

Ligt B in hetzelfde medium als A, boven de scheiding, dan is v=w, maar de redenering blijft geldig. In dat geval is de conclusie dat sin 𝛼=sin 𝛽, zodat 𝛼=𝛽 want de hoeken liggen in het eerste kwadrant. (Die eigenschap, evenals het punt waar de terugkaatsing gebeurt, kunnen ook rechtstreeks gevonden worden.)

(vervolgt in deel 2)