Twee Latijnse vierkanten van orde N heten (onderling) orthogonaal als zij de volgende eigenschappen hebben: noteert men in een NxN-matrix op elke plaats het koppel bestaande uit het element van het eerste en het tweede vierkant op die plaats, dan zijn alle N2 koppels verschillend (of, wat hetzelfde is, alle koppels komen voor).
Anders bekeken: in elke rij en in elke kolom komt elk van de getallen 1,...,N 1 keer links en 1 keer rechts voor, en alle koppels zijn verschillend (of, wat hetzelfde is, alle koppels komen voor). Als N niet groter dan 10 is kan men elk van de Latijnse vierkanten vullen met N cijfers (nl. 0,1,...,N-1=M) en twee orthogonale vierkanten van orde N vindt men dan door de NxN getallen
00,01,...,0M,zo te herschikken dat elk van de cijfers 0,...,M in elke rij en in elke kolom 1 keer links en 1 keer rechts voorkomt.
10,11,...,1M,
...,
M0,M1,...,MM
Een aantal Latijnse vierkanten van orde N heet (onderling) orthogonaal als elk tweetal orthogonaal is. De standaardafkorting is MOLS (Mutually Orthogonal Latin Squares). In 1782 heeft Euler aangetoond dat er MOLS bestaan van elke orde N behalve voor N even maar geen viertal. (Het hele artikel hier.) Voor N=2 bestaan er zeker geen. Voor N=6 heeft Euler er geen kunnen vinden, en in 1900 heeft Gaston Tarry bewezen dat er inderdaad geen MOLS 6 bestaan. (Het hele artikel hier.) Euler had het vermoeden geuit dat er geen MOLS bestonden als N=viervoud+2, maar dat vermoeden is in 1958 totaal weerlegd: er bestaan MOLS voor alle N behalve 2 en 6.
Als N>2 een priemgetal is dan bestaan er, op symmetrieën na, exact N-1 MOLS van orde N. Voor N=5 zijn dat er dus 4. Hier (p. 47) worden ze met gebruik van de 5 getallen 0,1,2,3,4 opgesomd als
In een 5x5-matrix kan men dus op elke plaats een geordend viertal noteren, bestaande uit de getallen die op die plaats voorkomen in de 4 opeenvolgende vierkanten. Bijvoorbeeld: op de laatste rij en laatste kolom van die 5x5-matrix komt het viertal (3,2,1,0) te staan, dat men ook zou kunnen noteren als
Voor de technische uitvoering heb ik mijn arsenaal POSCA-acrylstiften aangevuld met een pen Uni-ball SIGNO broad (Pigment Ink, UM-153 white), waarmee ik dekkende witte lijnen trok bovenop de acryl. Hieronder mijn afgewerkt opus 4, "4 MOLS 5" (de 4 MOLS van orde 5), aan de muur.
De vier MOLS 5 oplossingen laten zich hier gemakkelijk en symmetrisch tot een geheel verwerken door ze als kwartieren van een vierkant in te kleuren. Doorgaans beeldt men twee gesuperponeerde latijnse vierkanten af door de vakjes van het ene vierkant verkleind te projecteren bovenop de vakjes van het andere, zoals
Of men gebruikt voor de twee vierkanten verschillende codes, b.v. vormen voor het ene en kleuren voor het andere. Deze oplossingen doen de fundamentele symmetrie tussen de twee orthogonale vierkanten teniet. Het gaat immers niet om een groot vierkant en een klein vierkant, maar om een "links" en een "rechts". De definitie van orthogonaliteit gebruikt terecht koppels, bestaande uit een links en een rechts getal. De grafische vormgeving bestaat dus logischerwijze uit een naast elkaar geplaatste linker- en rechterhelft. In de heraldiek heet dat "parti" ("gedeeld"). Als beide helften dezelfde kleur hebben verdwijnt uiteraard het gedeeld karakter; het wapenschild is dan "plain" (effen).
Er bestaat veel literatuur en er circuleren vele illustraties i.v.m. MOLS. Nuttige websites zijn bijvoorbeeld te vinden hier en hier.
*
Beknopte legenda
Opus III. MOLS 5.
zijn boven elkaar geplaatst met de de elementen van de vier opeenvolgende
vierkanten respectievelijk linksboven, rechtsboven, linksonder,
rechtsonder. Het ontstane vierkant van vierkanten, namelijk
is ingekleurd met
0 = zwart, 1 = violet, 2 = blauw, 3 = groen, 4 = rood.
