Artistieke wiskunde: opus VII — MOLS 10

Literatuur:

[E] Leonhard Euler, Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques, Verhandelingen uitgegeven door het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen, 9 (1782), 85-239

[G] Martin Gardner, How three modern mathematicians disproved a celebrated conjecture of Leonhard Euler, Scientific American, November 1959, 181-187

[K] Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4A / Combinatorial Algorithms, Part 1 (2011), 3-7

[P] E.T. Parker, Orthogonal Latin Squares, Proceedings of the National Academy of Sciences, 45 (1959), 859-862

*

Euler, geconfronteerd met de vaststelling dat er geen orthogonale Latijnse vierkanten van orde N=2 bestaan en dat hij er geen kon vinden van orde N=6, heeft het vermoeden geuit dat er geen bestonden van orde N=4-voud + 2. In 1957 werd vruchteloos gepoogd om met bruut computergeweld een orthogonaal exemplaar te vinden bij een bepaald Latijns vierkant van orde N=10. Twee jaar later evenwel realiseerde Parker een dubbele doorbraak: hij vond langs wiskundige weg het eerste orthogonaal paar van orde N=10 (zie [P]), en bracht met een nieuwe techniek de eerder geaborteerde computerpoging tot een goed einde. (Het hele verhaal in [G] en [K].) In [G] wordt Parkers exemplaar van MOLS 10 als volgt gegeven:

De linkse cijfers vormen het eerste vierkant, de rechtse cijfers het tweede. Een kleurenvoorstelling vraagt dus 10 kleuren voor het ene vierkant en eveneens 10 (eventueel dezelfde) voor het tweede vierkant. Doorgaans beeldt men beide boven elkaar af, met kleinere vakjes voor het tweede vierkant. Hieronder een dergelijke afbeelding.

Een symmetrische kleurvoorstelling, met een "links" en een "rechts" vierkant i.p.v. een "groot" en een "klein", zou de 100 vakken stuk voor stuk halveren in een linkse en een rechtse rechthoek. De praktische realisatie vraagt dan het inkleuren van 200 rechthoeken in 10 verschillende kleuren. Men kan evenwel een oplossing bedenken, die zowel de gekleurde oppervlakte als het aantal kleuren halveert. In acryl op canvasplaat uitgevoerd ziet het er zo uit:

De oorspronkelijke 100 vakken (van elkaar gescheiden door dikkere zwarte lijnen) zijn stuk voor stuk in 4 kwadranten verdeeld. De helft van de 400 kwadrantjes is wit gebleven, en de 200 overblijvende zijn uitgevoerd in 5 kleuren: violet, blauw, groen, geel, rood.

Vergelijkt men de eerste rij van het cijfervierkant met de eerste rij van ons kleurenvierkant, namelijk:

dan wordt de kleurencode duidelijk: linkse 0 = violet bovenaan, rechtse 0 = violet onderaan, linkse 1= blauw bovenaan, rechtse 1= rood bovenaan, enzovoort. De code is zo gekozen dat (zoals in de voorafgaande artistieke MOLS) de kleuren bovenaan zo geordend mogelijk getoond worden, hier afwisselend een strook bovenaan en een strook onderaan.

De verificatie van het orthogonaal karakter berust dan hierop, dat alle 100 vakken verschillend zijn, en dat in elke rij en elke kolom (van de 10) elke kleur 1 keer in elk kwadrant voorkomt.

Met meer schilderwerk door het zwaardere zwarte kader, en moeizamer schilderwerk door de kleinere kwadranten, zou men een soort glasraam-effect kunnen creëren zoals hieronder (dit is een ander cijfervierkant en een andere kleurcode):

In deze uitvoering is duidelijk te zien dat het 3x3-vierkant in de rechter benedenhoek op zichzelf een MOLS 3 is. Dat is in elk van de hierboven getoonde orthogonale vierkanten het geval.