18 April 2017

Vijf veelvlakken, op vijf wijzen geserveerd

De verwijzingen zijn naar

[DW] Xaveer de Win, Plato, verzameld werk, vijfde deel, Derde druk, De Nederlandsche Boekhandel, 1980. (Relevante bladzijden hier.)

[S] Alain Segonds, Jean Kepler. Le secret du monde, Gallimard, 1984.

[VDS] Albert van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras, Tweede druk, Agora, 1999. (Relevante bladzijden hier.)

*

In een driedimensionale ruimte bestaan er slechts vijf soorten regelmatige veelvlakken, nl. (genoemd naar het aantal zijvlakken) het regelmatig viervlak, zesvlak, achtvlak, twaalfvlak en twintigvlak.



regelmatig 4-, 6-, 8-,
12- en 20-vlak.


Men noemt deze regelmatige veelvlakken ook Platonische lichamen, omdat Plato in zijn Timaeus inderdaad zegt dat er vijf zijn, waarvan hij er vier bespreekt. Het bewijs dat er geen andere dan deze bestaan, een van de grote prestaties van de Griekse meetkunde, staat in de Elementen van Euclides.

1. Plato: 4 natuurelementen + iets anders.

Het ligt voor de hand, de vijf veelvlakken op te vatten als meetkundige bouwstenen van het heelal. Wie ook de vier elementen aarde-lucht-water-vuur als basisingrediënten beschouwt komt vanzelf op de vraag hoe men de vier elementen kan associëren met vier van de vijf veelvlakken. Anders bekeken: welk van de vijf is 'anders' dan de andere? Plato vindt het antwoord in de structuur van de zijvlakken. Het 12-vlak bestaat uit vijfhoeken, de andere veelvlakken ofwel uit gelijkzijdige driehoeken (4-, 8-, 20-vlak) ofwel vierkanten (6-vlak). En een vierkant heeft met een gelijkzijdige driehoek gemeen, dat beide kunnen ontbonden worden in de driehoeken die Plato als de ultieme bouwstenen beschouwt: rechthoekige driehoeken, waarvan de rechthoekszijden de verhouding 1:1 of 1:2 hebben. (I en II in onderstaande figuur.) De Schepper groepeert deze driehoeken eerst zo rond een middelpunt dat een gelijkzijdige driehoek of vierkant ontstaat (onderstaande figuur, onderaan), en vormt daarmee dan de vier geselecteerde veelvlakken. [DW, 241-243.]


Met dit (behoorlijk kunstmatig) criterium worden dus het 4-, 6-, 8- en 20-vlak uitverkoren, en door Plato redelijk gedetailleerd beschreven. De associatie met de vier elementen gebeurt op grond van de relatieve 'beweeglijkheid'. Het minst beweeglijk is 'aarde', dan volgen, volgens toenemende beweeglijkheid: water, lucht, vuur. Het veelvlak met een vierkant grondvlak is stabieler dan die met een driehoekig grondvlak, vandaar aarde=6-vlak (24xI). De overblijvende veelvlakken zijn lichter en dus beweeglijker naarmate zij uit minder driehoekjes bestaan. Volgens afnemende beweeglijkheid dus: vuur=4-vlak (24xII), lucht=8-vlak (48xII), water=20-vlak (120xII). [DW, 244-245.]


Van het vijfde veelvlak, dat uit de boot valt, zegt Plato zo goed als niets, zelfs niet dat het een 12-vlak is. Hij schrijft enkel: Er bleef nu nog één lichaam over, het vijfde, en de god gebruikte het om het geheel te tekenen—of iets van die strekking, want het gebruikte werkwoord is duister en leent zich tot zeer uiteenlopende vertalingen. [VDS, 131.] Plato zelf doet het niet, maar iedereen kan het zijvlak zelf ontbinden in 30 driehoekjes, van een andere soort dan de Platonische driehoekjes I-II. (Onderaan rechts in de figuur met de driehoekjes.) Vermits er 12 zijvlakken zijn (evenveel als tekens van de dierenriem), en vermits die 30 driehoekjes een maand (van 30 dagen) suggereren, komt men nogal gemakkelijk uit op de associatie van het 12-vlak met het uitspansel. Die associatie is wel zeer geforceerd. De natuurlijke voorstelling van de kosmos is immers, voor de Grieken evengoed als voor ons, geen veelvlak met de dierenriem verdeeld over de zijvlakken, maar een sfeer, met de dierenriem als een, ja, riem eromheen. Ook qua afmetingen is het twaalfvlak-kosmos een totale breuk met de vier veelvlakken-elementen. Volgens Plato moeten we ons de elementen zo klein indenken dat ieder van hen, apart genomen en elk in zijn soort, voor ons totaal onzichtbaar is wegens zijn kleinheid. [DW, 245.] De kosmos daarentegen!

In zijn Harmonices Mundi heeft Kepler die associatie van de vijf regelmatige veelvlakken met 4 elementen + de kosmos netjes voor ons geïllustreerd, weliswaar met de immense kosmos even groot als de minuscule vier elementen:




2. Kepler: 3 primaire + 2 secundaire.

In zijn Mysterium Cosmographicum verklaarde Kepler de afstanden tussen de planeetbanen m.b.v. de vijf Platonische lichamen. Er waren nog maar zes planeten bekend, en twee opeenvolgende banen werden volgens Kepler gescheiden door één van de regelmatige veelvlakken. Van de zon af ontmoeten we volgens hem:

Mercurius—(8-vlak)—Venus—(20-vlak)
—aarde—
(12-vlak)—Mars—(4-vlak)—Jupiter—(6-vlak)—Saturnus.

De baan van de aarde scheidt de vijf veelvlakken in twee soorten: drie primaire (4-, 6- en 12-vlak), waarbij in elk hoekpunt drie zijvlakken samenkomen, en twee secundaire, waarbij dat er in elk hoekpunt vier (8-vlak) of vijf (20-vlak) zijn. [VDS, 152.] De numerieke overeenstemming met de feiten was bevredigend, maar het Platonisch 12-vlak is van "kosmos" gedegradeerd tot het middelste in de rij. De hoogste positie heeft de kubus, maar Saturnus en de rest van het heelal liggen daar nog buiten.

De achterliggende gedachten zijn zeer middeleeuws: dat, omdat er maar zes planeten bekend zijn, er ook maar zes bestaan, en dat de aarde een bevoorrechte plaats binnen die zes inneemt. Overigens, waar blijft de verklaring van de afstand van Mercurius tot de zon?



3. nog Kepler: 3 zonder gulden snede + 2 met.

Kepler in Harmonices Mundi:
En tot hier toe [voor 4-, 6- en 8-vlak] is die gouden stelling van Pythagoras over de machten van de zijden van een rechthoekige driehoek gebruikt, stelling 47 van Boek I. Voor de twee overige lichamen is die andere schat van de Meetkunde nodig, over een lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden, die Stelling 30 van het zesde boek is. [Toelichting hier.]
De opdeling is nu tussen de 3 veelvlakken waarvoor enkel Pythagoras vereist is, en de 2 overige waarvoor de gulden snede gebruikt wordt. (Kepler schrijft onterecht 'nodig is'.)



4. nog eens Kepler: 2 getrouwde stellen + 1 vrijgezel.

Het regelmatig 6- en het regelmatig 8-vlak zijn duaal: de middelpunten van de zijvlakken van de ene zijn de hoekpunten van de andere.  Hetzelfde geldt voor het 12- en 20-vlak. Het resterende veelvlak, het 4-vlak, is zijn eigen duaal; de middelpunten van zijn zijvlakken zijn de hoekpunten van een nieuw regelmatig 4-vlak.

In Harmonices Mundi beschrijft Kepler deze verwantschappen in geslachtelijke termen: duale veelvlakken noemt hij getrouwd, en het eenzame 4-vlak een vrijgezel of hermafrodiet. Dit zijn de bijhorende illustraties, v.l.n.r. het coniugium cubicum van de kubus met het achtvlak, het coniugium dodecaedricum van het 12-vlak met het 20-vlak, en de coelebs aut androgynos. [VDS, 172-173]






5. en nog eens Kepler: de kubus + 4 minder volmaakte lichamen.

In Mysterium Cosmographicum besteedt Kepler hoofdstuk V aan de stelling "dat de kubus het eerste onder de (Platonische) lichamen is". De argumentatie eindigt met
We mogen ook niet vergeten dat de vindingrijke Natuur in haar volmaaktheid diezelfde zes richtingen [die in de kubus aanwezig zijn] toegekend heeft aan het volmaaktste levende wezen, en dat is geen gering argument om te tonen hoe waardevol dit ruimtelichaam in de natuur is. Immers, de mens is om zo te zeggen zelf een kubus waarin we als het ware zes zijvlakken aantreffen: boven, onder, voor, achter, rechts en links. [S, 79]
En in hoofdstuk XII wordt de kubus geassocieerd met het muzikale octaaf, het volmaaktste akkoord (harmonia perfectissima), zoals de kubus het volmaaktste ruimtelichaam (perfectissimum corpus) is. [S, 104; Mysterium Cosmographicum, 43.]





Moraal van het verhaal:
het is op velerlei manieren mogelijk om onder de vijf regelmatige veelvlakken er één of twee "speciale" aan te wijzen. Onder die specialen is het twaalfvlak niet specialer dan andere specialen zoals de eenvoudige kubus.
*