Artistieke wiskunde, opus XV — Verknipte figuren

Inleiding

Een veelhoek is een figuur bestaande uit een eindig aantal niet-overlappende (volle) driehoeken in hetzelfde vlak. De oppervlakte van die veelhoek is de som van de oppervlakten van de samenstellende driehoeken. Een veelhoek A verknippen betekent: hem onderverdelen in veelhoeken die herschikt worden, door translaties en rotaties, tot een nieuwe veelhoek B (die uiteraard dezelfde oppervlakte heeft). Door de bewerkingen in omgekeerde zin te doorlopen kan men dan ook B verknippen tot A. 

Elementaire eigenschap: elke veelhoek kan verknipt worden tot een vierkant. Dit ziet men als volgt in.

(a) van driehoek naar parallellogram

De verdeling van de driehoek gebeurt door de middenparallel. 

De blauwe driehoek moet over 180° gedraaid worden.

(b) van parallellogram naar rechthoek

(c) van rechthoek naar vierkant

Deze opdeling van een rechthoek in vier stukken is altijd mogelijk, want als b<a, dan is vkw(ab)<a. Als b<a<2b dan is ook een opdeling in drie stukken mogelijk. Voor 'lange' rechthoeken, zoals deze hierboven, is deze werkwijze echter onmogelijk.

Door toepassing van a-b-c verknipt men elke driehoek waaruit de veelhoek bestaat tot een vierkant. Hierna past men herhaaldelijk toe:

(d) van twee vierkanten naar één vierkant

Men eindigt uiteindelijk met één vierkant, dat dezelfde oppervlakte heeft als de gegeven veelhoek.

Gevolg: hebben twee veelhoeken dezelfde oppervlakte, dan men de één verknippen tot de ander. Immers, men kan beide verknippen tot vierkanten. Als men voor één van die vierkanten de bewerkingen omgekeerd doorloopt, dan heeft men (met een vierkant als tussenstap) de ene veelhoek herknipt tot de andere.

Men kan de procedure aan het werk zien in deze fraaie app. Men tekent twee willekeurige veelhoeken, het programma herleidt ze tot dezelfde oppervlakte en verknipt dan de eerste tot de tweede.

De principiële werkwijze die hier beschreven staat leidt tot een opdeling van de gegeven veelhoek in zeer vele stukken. De uitdaging bestaat er nu in, een opdeling in zo weinig mogelijk stukken te vinden. Groot meesterschap hierin is vertoond door Gavin Theobald.

Het concrete werk in acryl

Afgebeeld zijn twee van de dissecties van Theobald: van een gelijkzijdige driehoek naar een regelmatige zevenhoek in acht stukken (bovenaan) en van een vierkant naar een regelmatige zevenhoek in zeven stukken (onderaan). Omwille van het evenwicht in de figuur zijn de zevenhoeken niet onder elkaar weergegeven, maar geschrankt. De vier veelhoeken hebben dezelfde oppervlakte. De canvasplaat is, zoals altijd, 60 op 60 cm.