Artistieke wiskunde: opus VIII — Conway's 30

Stel, we beschikken over 6 kleuren (de kleuren 1,2,3,4,5,6) en willen daarmee een kubus kleuren, 1 kleur per zijvlak. Op hoeveel manieren kunnen we dat doen? De kubus mag vrij gedraaid worden, we beschouwen de kleurenconfiguratie dan niet als veranderd. We mogen dus aannemen dat het bovenvlak van de kubus, als hij op tafel ligt, kleur 1 heeft. Voor het eerste zijvlak kunnen we uit 5 kleuren kiezen, voor het zijvlak rechts daarvan uit 4, voor het zijvlak nog rechts daarvan uit 3, en voor het laatste zijvlak uit 2. Voor de zijvlakken hebben we dus 5x4x3x2 mogelijkheden genoemd, maar er zijn dubbelgetelde bij. De kleuropvolging 2-3-4-5 (het eerste zijvlak kleur 2, en dan naar rechts 3-4-5) heb we ook geteld als 3-4-5-2 (het eerste zijvlak kleur 3, en dan naar rechts 4-5-2), ook als 4-5-2-3 en ook als 5-2-3-4. Elke kleuropvolging is dus 4 keer geteld, zodat er voor de zijvlakken niet 5x4x3x2 mogelijkheden zijn, maar het vierde daarvan: 5x3x2=30. Voor het ondervlak is er maar 1 keuze, de niet-gebruikte kleur. Er zijn dus 30 verschillend gekleurde kubussen met de gegeven kleuren als zijvlakken. (Elk daarvan heeft een spiegelbeeld, dat wel degelijk onder de "andersgekleurde" voorkomt.)

Martin Gardner heeft in Scientific American interessante beschouwingen gewijd aan de 30 gekleurde kubussen (hier een reprint van 1992). Gardner navolgend stellen we, zoals in de hiernavolgende figuur, elk van de kubussen voor door een vierkant (het bovenvlak, waar we bovenop kijken) met 4 aangrenzende trapezia (de zijvlakken die we in een vertekenend perspectief zien). Het ondervlak zien we uiteraard niet. Op de vijf zichtbare vlakken kunnen we hun respectieve kleur aanbrengen (in zwart-wit door een cijfer of een grafische code, zoals in de heraldiek gebruikelijk is). Het onzichtbare ondervlak heeft dan de kleur die overblijft van het gegeven zestal.

Gardners figuur 38 geeft de schikking van de 30 kubussen in een rooster dat afkomstig is van Conway (ja, de Conway van de surreële getallen).

 

De witte diagonaal is een as van symmetrie, 15 kubussen staan aan de ene kant ervan en hun spiegelbeelden aan de andere kant. Met deze schikking is o.m. de volgende vraag gemakkelijk te beantwoorden: Aannemend dat gelijkgekleurde zijvlakken aan elkaar plakken en andersgekleurde niet, pik er 1 kubus uit en plak 8 andere kubussen zo aan elkaar dat een verdubbelde versie van de eerste ontstaat (met zijvlakken die dus elk bestaan uit 4 van de oorspronkelijke zijvlakken). Voor het antwoord zie men het artikel van Gardner.

De matrix van Conway heb ik materieel uitgevoerd in acryl op een canvasplaat van 60 op 60 cm. Mijn kleurkeuze volgt het spectrum: 1= zwart, 2= violet, 3= blauw, 4= groen, 5= geel, 6= rood. Misschien maak ik ook nog een versie waarin de hele schikking 45° gedraaid is, zodat de symmetrieas vertikaal in het canvas staat. Om een idee te geven: hieronder het hele canvas gedraaid i.p.v. alleen de figuur.

Jan Hoet en de transsubstantiatie

1. Transsubstantiatie (katholieke voodoo)

De transsubstantiatie is een voodoo-ritueel van de katholieke kerk. In essentie komt het hierop neer (we besparen u de theologische scherpslijperij): doordat een gekwalificeerd iemand (een priester) bepaalde magische woorden (hoc est corpus meum) uitspreekt wordt een bepaald onschuldig iets (in casu een bepaald graanproduct) getransformeerd in iets totaal anders (het lichaam van Christus) waaraan men goddelijke aanbidding verschuldigd is hoewel er fysisch aan het object niets veranderd is.

Het aldus getranssubstantieerde object—door oneerbiedige protestanten destijds de roomse broodgod genoemd— wordt met veel poeha geëtaleerd, alsof er iets bijzonders aan te merken valt. Dit laatste is niet het geval, zoals ook de gelovers zelf toegeven; men wordt geacht een diepere waarheid te ervaren doorheen en achter de onbenullige profane schijn. Een hoogtepunt in deze devotie is de z.g. altijddurende aanbidding, zijnde 'een ononderbroken gebed tot het heilig sacrament dat in de vorm van een geconsacreerde hostie in een monstrans tentoongesteld wordt'. De gelovigen treden hiervoor in beurtrollen aan. 

 2. Transsubstantiatie (actuele "kunst")

Als losgeslagen cultus van de anti-ratio (believing what you know ain't true volgens Mark Twain) heeft transsubstantiatie in onze contreien haar beste tijd nu wel achter de rug. Althans, voor wie ze in kerken gaat zoeken. Springlevend daarentegen is ze herboren in andere tempels, nl. in z.g. musea waar aan z.g. actuele z.g. "kunst" gedaan wordt. Daar kan men, wereldwijd, de transsubstantiatie in volle waanzinnige glorie waarnemen.

We beginnen met een eenvoudig voorbeeld dicht bij huis.

Dit is een pot mosselen. De intrinsieke waarde is ongeveer nihil. Met de mosselen weggegooid en de pot goed schoongemaakt geeft een kringloopwinkel er misschien € 5,00 voor. Deze prul is het basisobject voor de transsubstantiatie die volgt. De celebrant is niemand minder dan Jan Hoet, doctor honoris causa van Universiteit Gent [sic], en in de adelstand verheven [resic]. Aan het leergezag van deze geconsacreerde kunstpaus (zo heet hij dus terecht) kan en mag bijgevolg niemand twijfelen. De magische woorden zijn:

𝐺𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 (1966) is een cruciaal werk in het oeuvre van dichter, beeldhouwer, schilder en filmer Marcel Broodthaers. Het geeft gestalte aan zijn veelzijdige visie en is een spel met diverse contexten en tegenstellingen zoals natuur en cultuur, het alledaagse en het kunstmatige, het functionele object en het esthetische.

(Lees de bulle hier zelf na.) Et voilà! De transsubstantiatie is gebeurd. Een waardeloze pot, waaraan fysisch niets veranderd is, is plots € 250.000,00 waard—de helft overigens onvrijwillige bijdrage namens de Vlaamse belastingbetaler. Het ding wordt permanent en met veel égards tentoongesteld en is het voorwerp van altijddurende aanbidding. Journalisten, nep-intellectuelen en andere akolieten van het regime buitelen over elkaar heen in aanbidding en exegese van het wonderlijke kunstwerk. Er ontstaat zelfs een fenomeen van tweede orde: het Jan Hoet-syndroom. Eenvoudige lieden met gezond verstand, die begrijpelijkerwijze niets begrijpen van iets waar niets aan te begrijpen valt, denken 'het zal wel aan mij liggen,' kruipen in hun (mossel)schelp en laten de zever verder gewoon over zich spoelen.

In feite is het transsubstantantiatiemechanisme

ROMMEL + ZEVER = "KUNST"

gewoon een wederuitgave van het bekende sprookje De nieuwe kleren van de keizer. Het is volksverlakkerij, boerenbedrog, zwendel. Jan Hoet is een doodgewone charlatan, wiens enige "kunst" erin bestaat dat hij die rommel verkocht krijgt. Als iedereen het Imperium van de Waanzin, bekend als S.M.A.K. (Stedelijk "Museum" voor Actuele "Kunst") brullend van het lachen zou doorlopen zouden we al een heel eind opgeschoten zijn. Men zegge het voort! Het lachen mag ook groen zijn; bedenkt dat u het zelf betaalt, want Jan Hoet kijkt wel uit om zijn eigen geld daaraan uit te geven.

3. De basisgrap

Actuele "kunst" heeft alles van een uit de hand gelopen grap, en bij nader toezien is het dat ook echt. Als founding father kan men de Franse schrijver Jules Lévy beschouwen. Rond 1880 stichtte hij de humoristische kunstbeweging Les arts incohérents waarvoor hij jaarlijks een tentoonstelling inrichtte. De regel daarbij was: "Toutes les œuvres sont admises, les œuvres sérieuses et obscènes exceptées". Op de eerste Exposition des Arts incohérents, in 1882, was een volkomen zwart schilderij in een gouden lijst te bewonderen, een werk van de dichter Paul Bilhaud, getiteld Combat de nègres dans un tunnel  (of een variante hiervan). De schrijver Alphonse Allais pikte hierop in en presenteerde op latere exposities andere eenkleurige schilderijen met grappige titels, bijvoorbeeld een volkomen wit werk getiteld Eerste communie van bleekzuchtige meisjes tijdens een sneeuwbui. In 1897 publiceerde hij een Album Primo-Avrilesque (hier te consulteren) met al zijn eenkleurige "werken". Als inspiratiebron citeert hij de vechtende negers van Bilhaud:  

Het zwarte schilderij verloor —schijnbaar— zijn grappige inhoud door de Russische avant-gardist Malevich, wiens zwarte vierkanten (geproduceerd vanaf 1915) perfecte toonbeelden geworden zijn van transsubstantiatie. Hijzelf bijvoorbeeld zei dat zijn zwart vierkant bedoeld was als

 de ervaring van de zuivere niet-objectiviteit in de witte leegte van een bevrijd niets

en Wikipedia levert fraaie staaltjes van consecratiezever à la Jan Hoet. Maar ziet! In 2015 werd tijdens een radiografisch onderzoek van een Zwart Vierkant van Malevich onder de verf deze handgeschreven Russische tekst blootgelegd (lees het hier na):

De vertaling luidt: negers vechtend in een grot. Hahaha! Malevich was zich van de grap dus terdege bewust! Hij was een goed en geïnspireerd schilder, maar heeft op een zeker ogenblik beseft dat hij even goed of nog beter (en met veel minder moeite) wegkwam door prullen als diepzinnigheden voor te schotelen. Men denkt onwillekeurig aan kunstenaars als Picasso en Mondriaan bij wie men hetzelfde vaststelt. Of aan John Cage, een voortreffelijk componist die snobistisch publiek en kunstcritici gewoon te kakken zet met zijn "compositie" genaamd 4'3" (1952): drie "bewegingen", waarin geen enkele van de uitvoerders iets uitvoert. Ook hiervoor laten we u de magische transsubstantiatieformules graag zelf opzoeken. In feite is ook dit zonder meer een grap, die teruggaat op dezelfde Alphonse Allais van de eenkleurige schilderijen. In zijn Album Primo-Avrilesque (p. 21-26) publiceert hij namelijk ook het eerste "lege" muziekwerk:

4. Alomtegenwoordigheid

Tot de mysterieën van de roomse broodgod behoort, dat hij gelijktijdig op onnoemlijk veel plaatsen aanwezig is. Hetzelfde theologische wonder doet zich uiteraard voor in de geconsacreerde Actuele Kunst. Zo is door de gelovigen waargenomen dat het Zwarte Vierkant van Malevich ook nedergedaald is op diverse andere plaatsen, o.m. bij de Amerikaanse profeet Ad Reinhardt in 1963.

Martin Gardner in Notices of the American Mathematical Society, June/July 2005 (hier, p.611):  

Ik schreef een bijdrage voor Scientific American over minimale kunst, en reproduceerde een van Reinhardts zwarte schilderijen. Dat was natuurlijk gewoon een volledig zwart vierkant, maar de uitgever drong erop aan dat ik aan de galerie toestemming vroeg voor de reproductie—en zij gaven die. 

Uiteindelijk heeft Gardner blijkbaar dan toch afgezien van reproductie, want in zijn twee artikels over minimale kunst (hier) vernoemt hij Reinhardt wel twee keer  (p.134 en 141) maar zonder visualisering. Nu ja, om het zich voor te stellen is niet méér verbeeldingskracht nodig dan om het te bedenken. Zoals gezegd: de hele 'kunst' bestaat erin die zever aan de man te brengen. O ja, we waren het al vergeten, de sacrale woorden die de transsubstatiatie van het Zwarte Vierkant bewerken! Volgens Reinhardt zelf:

a pure, abstract, non-objective, timeless, spaceless, changeless, relationless, disinterested painting—an object that is self-conscious (no unconsciousness), ideal, transcendent, aware of no thing but art.

Lees het hier zorgvuldig na, want een foutje is zó gemaakt!

*

De term "(Wiskundige) Analyse"

Wiskundigen verstaan onder 'analyse' het wiskunde-onderdeel waarin functies afgeleid en geïntegreerd worden. (Ik heb er heel mijn beroepsleven lang mee te maken gehad.) Niet-wiskundigen daarentegen zullen eerder aan analyse van een tekst, een toestand of een scheikundige stof denken. Hoe zijn die totaal uiteenlopende interpretaties eigenlijk tot stand gekomen?

Collega Koornwinder van de Universiteit van Amsterdam heeft, in zijn  inaugurale rede van 1993 (hier), enkele bladzijden aan die vraag gewijd. In zijn tekst staan ook verdere verwijzingen naar de bronnen. Wij geven hieronder de cruciale stappen van het proces aan.

1. Pappus,  Analuomenos topos (Schatkamer der Analyse), ca. AD 340:

Analyse als 'achterwaartse' wiskundige redeneerwijze

In deze tekst, onderdeel van Pappus' Wiskundige Collectie, wordt het verschil tussen analyse (letterlijk: ontbinding) en synthese (letterlijk: samenvoeging) uiteengezet. Het eerste staat voor 'achterwaartse oplossing': men vertrekt van hetgeen met wenst te bekomen en construeert opeenvolgende stappen waaruit dit gezochte zou volgen. Bij synthese daarentegen vertrekt men van hetgeen al vaststaat, en leidt daar opeenvolgende gevolgen uit af.

Afgewerkte wiskundige teksten zijn bijna altijd in de gedaante van een synthese geformuleerd, maar het creatieve werk verloopt bijna uitsluitend door analyse.

2. Viète, In Artem Analyticem Isagoge (Introduction à l'art analytique), 1591:  

Analyse als synoniem van 'algebra' 

Viète beschrijft als werkwijze om een algebraïsche vergelijking op te lossen: men werkt met de onbekende alsof het al een echt getal is, manipuleert in een aantal logische stappen de vergelijking, totdat er een of meer concrete waarden voor de onbekende uitkomen. De naam van de werkwijze wordt ook gebruikt voor 'algebra' (het symbolisch rekenen met bekende en onbekende getallen) in het algemeen.

In het schoolvak analytische meetkunde, tot ontwikkeling gebracht door Fermat en Descartes, wordt 'analytisch' nog steeds als synoniem voor 'algebraïsch' gebruikt. 

3. Newton, De Analysi, 1669: 

Analyse als synoniem van 'analyse [d.i. algebra] van oneindige reeksen'.

  
In Newtons eigen woorden (vertaald):

En wat de gewone Analyse [d.i. algebra] ook uitvoert door middel van vergelijkingen met een eindig aantal termen kan deze nieuwe methode altijd uitvoeren d.m.v. oneindige vergelijkingen. Daarom heb ik er geen probleem mee gehad om hier ook de naam Analyse aan te verbinden. 

In die betekenis, rekenen met oneindige reeksen, oneindig kleine grootheden of oneindig grote getallen, wordt de term Analyse gefixeerd door enkele invloedrijke handboeken.

1696

Marquis de l'Hospital

Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes

 m.a.w.

analyse van [d.i. het rekenen met] de oneindig kleinen om kromme lijnen te begrijpen. 

 

 1748

Euler

Introductio in analysin infinitorum

m.a.w

  inleiding tot de analyse van [d.i. het rekenen met] oneindig groten.

1821

Cauchy

Cours d'Analyse

zijnde kort en goed

Leergang Analyse

 

Jef Geeraerts als vrijzinnige

Bronnen:

[G3/G4] Jef Geeraerts, Gangreen 3 (1975) en Gangreen 4 (1977) in één band, Manteau 1989

[V] Eleonore Vigenon, De spoken van Jef Geeraerts, Meulenhoff/Manteau 2007

[W] Julien Weverbergh, Interview met Jef Geeraerts, in: Yang, 49/50, juni 1973, 79-91 (relevante bladzijde hier)

[ZC] Jef Geeraerts, Zonder clan, van Kampen & zoon, 1964

*

Jef Geeraerts is een schrijver, en zijn literaire productie moet literair beoordeeld worden, niet feitelijk. Wat hij buiten de literatuur meedeelt, daarentegen, mag en moet men aan de werkelijkheid toetsen, zeker als men met contradicties geconfronteerd wordt.

Zo'n contradictie bestaat b.v. tussen

In Gangreen 1 staat geen letter die niet waar is [W, 84]

en

Tot mijn verbazing stelde ik vast dat de critici niet doorhadden dat het gedeeltelijk fictie was, zoals trouwens het geval was geweest met Gangreen 1. [V, 315]

Eveneens contradictorisch zijn de uitspraken

Ik ben nooit gelovig geweest [W, 84]

  en

Steeds meer schaam ik mij ooit een katholiek geweest te zijn. [G3, 319]

(N.B. Gangreen 3 en Gangreen 4 zijn reconstructies van de jeugd resp. echtscheiding van Geeraerts en beschouwen we als 'journalistieke mededelingen' zonder literaire verwerking.)

Laten wij eens dieper ingaan op de tweede contradictie. Jefs dochter Ilse zegt van haar moeder: ze was heel katholiek opgevoed, anders dan mijn vrijzinnige vader. [Het Nieuwsblad, 18 april 2010, hier na te lezen.] Toen zij dat zei was Jef zeker al een volbloed vrijzinnige, maar dat hoeft niet te betekenen dat hij dat altijd geweest was of het van huis uit was, iets wat echtgenote Eleonore wel eens beweerd heeft. 

Jefs ouders zijn kerkelijk getrouwd, lieten hun zoon dopen, katholiek school lopen, eerste en plechtige communie doen, en gingen bij de grote gelegenheden niet alleen naar de kerk maar ook nog eens te communie [G3, 199]. Zij wilden hun zoon laten studeren aan de Katholieke Universiteit Leuven, inclusief internaat in het Pauselijk College [V, 30]. Zij waren dus geen vrijzinnigen, maar randkatholieken, die het katholieke geloof niet inhoudelijk afleggen maar het herleiden tot enkele 'grote gelegenheden'. Maar laten we toch even aandachtig kijken naar deze foto uit 1942 [V, 25]:

De twaalfjarige J.G. thuis in de schaduw van Heilig Hart en kruisbeeld.
(Detail van de foto in [V,.25])

Jef beschrijft deze foto (of een zeer verwante foto uit dezelfde serie) in [G3, 233] maar vergeet melding te maken van het groot Heilig Hartbeeld op de schoorsteenmantel en het forse kruisbeeld aan de schouw. Dit interieur, ver verwijderd van de officiële (eventueel hypocriete) uitingen van midderstanderskatholicisme, is zeer conventioneel katholiek. Om het zacht te stellen: erg militant kan de 'vrijzinnigheid' van het gezin niet geweest zijn. 

Dat de opgroeiende jongeling afstand behield tot de doctrine waaraan hij onderworpen was, daar is in de geschriften van Jef Geeraerts weinig of niets van te merken.

Wekelijks ging ik naar de hoogmis in de St.-Pauluskerk, [...] ik bladerde vlijtig in mijn Missaal Voor De Jeugd, iedere eerste vrijdag van de maand ging ik te communie, verkocht Pro Apostoliskalenders voor de jezuïetenmissies [...], deed verstervingskens tijdens de Internationale Bidweek [G3, 174]

Deze buitenschoolse vrome vlijt moet Jef van thuis uit ingefluisterd gekregen hebben, of heeft hij zichzelf opgelegd. Terugdenkend aan zijn jeugd schrijft hij 

Onderweg denk ik: in 1944 hebben we ooit samen in die kerk gezeten, heeft een blonde puber daar misschien 's een kruiske-met-wijwater gegeven aan het zesjarige zwartje-met-witte-vlechtjes in witte gestrikte linten?  [G3, 339]

 Jef "de blonde puber" was toen 14, en beleefde de katholieke devotie blijkbaar zonder reserves. En hij was 16 toen zijn grootmoeder in 1946 stierf: 

Ik ontstak een witte kaars voor het H. Hartbeeld op de schoorsteen. [G3, 355]

In [ZC] leert de romanfiguur zijn toekomstige vrouw—in wie Jefs echte echtgenote zeer goed te herkennen is—zelfs kennen op een kamp van de Bouworde, een uitgesproken katholieke idealistische actie. Dit mag dan literaire verwerking zijn (hoewel?), Jefs zeer katholieke vierjarige verloving onder geestelijke begeleiding, blootgelegd in G4, is dat niet. Hij verzekert haar dat hij 'overtuigd katholiek' is, en wordt door haar onmiddellijk z.g. meegetroond naar een kapel. Sprakeloos volgde ik haar [G4, 427], maar dan treedt Jef ook zelf in actie:

We stonden op, knielden voor het tabernakel en aan de uitgang doopte ik mijn vinger in wijwater en raakte even haar vinger aan. [G4, 427]

Deze spontane uiting van devotie is niet die van iemand van 21 die bedenkingen heeft. Men kan begrip opbrengen voor iemand die louter formeel een godsdienstig decorum ophoudt, b.v. onder dwang, om zijn opvoeders niet te irriteren of om de godsdienstige gevoelens van zijn moeder te ontzien. Maar op Kongolese bodem had Jef daar in elk geval geen enkele reden meer toe. Niettemin gaat hij braafjes met moeder de vrouw naar de kerk, weliswaar—naar eigen zeggen, achteraf— 'inwendig vloekend'.

In 1960, uit Kongo in België teruggekeerd, is Jef opnieuw sterk onderworpen aan 'de clan', en het formeel katholiek stramien wordt daardoor aanvankelijk nog sterker. Aldus

En elke zondag met vrouw & kinderen naar de mis, waar ik in woede [aldus Jef achteraf] de ogen van links naar rechts over de gebogen koppen van de verzamelde kudde liet gaan [G4, 520]

en

Elke zondag van denadvent woonde ik ook de gezamenlijke mis bij tot herstel van onze beledigingen met tot slot de hardop gebeden akte van ereboet aan 't Allerheiligste Hart van Jezus. Vlak voor kerstmis gingen we zoals in 1960 te biechten bij de onvermijdelijke Dominikaan. [G4, 477]

 De uiteindelijke filosofische ommekeer vinden we in G4 heel precies gedateerd: 1962, toen Jef student was geworden aan de V.U.B. 

Maar ook bij mij was een ommekeer begonnen. Ideologisch gefundeerd. Hoofdzakelijk veroorzaakt door de lectuur van het boek van Deschner. Toen ik tijdens de kerstweek de eerste worp waagde naar het plan dat ik me had voorgenomen uit te voeren, en zei dat ze alleen te biechten kon gaan, knikte ze enkel en met een stem die ik nauwelijks nog herkende antwoordde ze: Goed, maar ge kunt dan ook zorge da ge nie mee naar de nachtmis gaat om me nie in schande te brengen, ge kunt misschien zegge da ge griep hebt. [G4, 522-523]

Deze geleidelijke evolutie vinden we ook bij de romanfiguren terug. In Zonder clan delen man en vrouw aanvankelijk grotendeels dezelfde katholieke opvattingen, maar hij verwijdert zich daarvan, zij niet:

de congenitaal frigide maar kerkelijke ernstige degelijke hoewel ietwat plompe maar wettige echtgenote (de heilige koe) met de grote voeten de zware handen de zware heupen de zware borsten de zeurende stem die blijft redeneren volgens modellen die ik nu definitief verworpen heb [ZC, 46]

Samenvattend: Jef Geeraerts komt uit een gezin van randkatholieken, is in een traditioneel katholieke opvoeding beland toen hij 8 was, is katholiek geweest, en heeft zich daar pas uit losgemaakt toen hij 32 was. Dat hij uit een vrijzinnig milieu komt en nooit gelovig geweest is behoort tot de mythe die hij gecreëerd heeft.

*

De kleuren van de Vlaamse Leeuw

Voorafgaande bemerking. Er zijn maar zeer weinig handschriften die met enige zekerheid kunnen gedateerd worden, en dat geldt evenzeer voor de verluchtingen. De data die men in de literatuur en op het internet aantreft moeten zeer argwanend benaderd worden, en elk daarvan zou een kritisch onderzoek op zich verdienen. 

De verwijzingen zijn naar


[V] Hubert de Vries, Wapens van de Nederlanden, Uitgeverij Jan Mets, Amsterdam, 1995

[VF] Théodore Veyrin-Forrer, Précis d'Héraldique, Larousse 2004.

[W] Ernest Warlop, "Oude Vlaenderen" en de Zwarte Leeuw op Gouden Veld, Miscellanea Archivistica XXVIII, Algemeen Rijksarchief, 1980, 5-52 (Integraal hier.)

   A. De zwarte leeuw

Voorbeeld 1. De heraldische voorstelling van dieren was aanvankelijk eenvoudig en kwalitatief, met veel vrijheid om het afgebeelde dier, klimmend of gaand, aan de beschikbare vorm aan te passen. De heraldische leeuw had aanvankelijk geen tong of nagels, en zo verschijnt de Vlaamse Leeuw in het Liber Additamentorum van Matthaeus Parisiensis (Matthew Paris), gedateerd rond 1250. (Laatste schild op dit folium.)

 

Voorbeeld 2. Nagels zijn eerder aan de heraldische leeuw toegevoegd dan de tong: Jusqu'au XIVe siècle, les animaux (même ceux dont la bouche était ouverte) étaient représentés sans langue [VF,100]. Warlop [W,44 e.v.] geeft verschillende voorbeelden van wapens en zegels waarop leeuwen voorkomen met klauwen maar zonder tong. Van dat type zijn ook de leeuwen in de Dering-wapenrol (1270-1280), hier te consulteren. Gwijde van Dampierre, graaf van Vlaanderen, komt niet in die rol voor, maar een van zijn zoons wel:

300. Baudewyn de Flandres: 

Or, a lion rampant sable, a bordure indented gules.

De leeuw is geheel zwart.


Voorbeeld 3. In het z.g. Psalter van Gwijde van Dampierre, vervaardigd tussen 1266 en 1275, komen de wapens voor van de graaf en van vier van zijn zoons. Uit minutieus onderzoek blijkt dat de leeuwen nauwelijks tong of klauwen vertonen, maar in elk geval volkomen zwart zijn. [W, 41]

Voorbeeld 4. De miniatuur hieronder stelt een ridder met de Vlaamse kleuren voor, in een ongunstige apocalyptische context. (Cambrai, Bibliothèque municipale, ms. 0422 (0397 bis), f. 020, hier.)  

Het manuscript wordt gedateerd omstreeks 1260 en is vervaardigd voor de priorij van Bethlehem, eertijds gevestigd in Herent (zie hier). Als die datering klopt, dan was Margaretha II van Constantinopel gravin van Vlaanderen, en de ruiter kan onmogelijk Gwijde van Dampierre zijn, zoals vaak beweerd wordt. (Zijn vader, Willem van Dampierre, was wel getrouwd met Margaretha.) De afbeelding is haarscherp en toont een volkomen zwarte leeuw.

Voorbeeld 5. De Apocalyps van Cambrai behoort tot een familie van gelijkaardige manuscripen, genoemd naar Metz en/of Lambeth. Hieronder de versie van de Engelse Lambeth Apocalypse, eveneens gedateerd 1260 (toelichting hier).

Ook deze apocalyptische ruiter, in een Engels handschrift dit keer, draagt de Vlaamse Leeuw, volkomen zwart.

B. Een zwarte leeuw met rode nagels

Facebookvriend Filip Hooghe heeft informatie aangereikt waaruit blijkt dat rode details al in de eerste jaren van de veertiende eeuw aanwijsbaar zijn. Het betreft een Franse vertaling van een Latijns boek over de valkenjacht, hier volledig doorbladerbaar.

Op folio 1v (eerste kolom vier regels van onder af) wordt gezegd

... et entreprise a translater de latin en frencois a la requeste et a la peticion de tres noble baron mon douz signor Iehan chevalier descendu de tres noble lignie nei de sainte racine signor de Dampierre et de St Disier et a le reverence de ma douce dame Ysabel dame de ces meismes leus descendue de tres haute lignie de roys et a lonor de tres noble damoisel Guillaume lor fil et a la grace de tres noble damoiselle Jehanne de Woingnouri ma dame Ione. 

Er worden dus vier opdrachtgevers vernoemd, en dat zijn: Jan van Dampierre en zijn vrouw Isabella van Brienne, verder hun zoon Willem van Dampierre en diens vrouw Jeanne de Vignori. Het is bekend dat deze Jan van Dampierre al overleden was in 1307 [zie hier, p.894], zodat het document van enkele jaren vroeger moet dateren.

Onderaan folio 1r zien we twee personen (allicht de vertaler en de miniaturist) instructies ontvangen van een opdrachtgever wiens wapen onderaan is opgehangen.

De beide schilden zijn identiek. Inzoomend op het best bewaarde (rechts) zien we:

Behalve de barensteel en de kroon zijn ook de klauwen van de leeuw onmiskenbaar rood. Er is geen rode tong te bemerken. De roodgekroonde leeuw is de leeuw van Namen, een 'breuk' (heraldische differentiatie tussen verwanten) met de leeuw van Vlaanderen. Onrechtstreeks zien we dus een verwijzing naar een leeuw van Vlaanderen met rode klauwen. Men kan uit dit specifieke wapen wel niets besluiten over het wapen van de graaf van Vlaanderen. Het is niet omdat zijn neef snel inpikte op een heraldische modetrend, dat de graaf zelf dat ook deed. De eerste waarvoor dat aantoonbaar het geval is is Lodewijk van Male, graaf geworden in 1346, maar niets sluit uit dat voorgangers van hem het ook deden zonder dat de sporen daarvan ons bereikt hebben.

C. De zwarte leeuw met rode tong en nagels (en witte tanden)

In [V,81] vinden we over het wapen van de hertog van Brabant:  

Ten slotte werd in de veertiende eeuw het wapen verder ontwikkeld door, naar de mode van de tijd, de tong en nagels rood te kleuren

Voor de analoge evolutie van het wapen van de graaf van Vlaanderen wordt zelfs specifiekere informatie verstrekt: 

In deze tijd [de tijd van Lodewijk van Male] krijgt de leeuw van het schild ook een rode tong en klauwen [V,172].

 Ook Warlop schrijft

Pas omstreeks het midden van de 14de eeuw geven de wapenherauten aan deze zwarte leeuw [van Vlaanderen] een rode tong en rode klauwen. [W,42]

Aldus uitgedost maakt de Vlaamse leeuw zijn opwachting in de wapenboeken van Bellenville (ca 1365, hier te doorbladeren) en van Gelre (begonnen ca 1370). Strikt genomen moet men ook de kleur 'wit' vermelden, gebruikt in de tanden en in de klauwen.

Armorial Bellenville, folio 79: geel, zwart, rood en wit.

Ook de miniaturisten (die doorgaans los omspringen met heraldiek) blijken omstreeks die tijd over te schakelen op rode details in het wapen van Vlaanderen. Van enige systematiek is evenwel geen sprake.

In Tres Tractatus van Gilles li Muisis (Rijksarchief Kortrijk, hier te doorbladeren), gemaakt omstreeks 1350, telde Warlop [W,44-45] drie volledig zwarte leeuwen en vijf met rode details.

In Nuova Cronica van Giovanni Villani (hier te doorbladeren) is de Leeuw doorgaans geheel zwart (folio 158v, 170r, 171v, 173v, 182r, 183r, 183v,184r), maar hij heeft op twee plaatsen een rode tong en klauwen (158v, 172r). Enige logica lijkt er in die variatie niet te zitten. Op folio 172r zijn de rode details op het vaandel te zien, maar niet op de schilden:

en in analoge situatie op folio 171v ontbreken ze overal:

Dezelfde inconsistenties kan men ook vaststellen in de Codex Balduini Trevirensis (hier in een heruitgave uit 1881 te doorbladeren), gedateerd rond 1340. De Vlaamse Leeuw is er vaak te zien omdat sommige deelnemers aan die veldtocht in Italië een wapen hadden dat een breuk was met de Vlaamse Leeuw. De miniaturist voorziet de zwarte leeuw sporadisch eens van een rode tong, maar absoluut zonder enige systematiek. Hieronder ziet men het wapen van Hendrik van Vlaanderen (met een rood-wit geblokte schuinbalk) op het vaandel mét en op het schild zónder rode tong. Rode klauwen zijn nergens aangebracht.

D. De retroactieve zwarte leeuw

Lang nadat de leeuw al heraldisch gecodificeerd was met rode tong en nagels treft men hem nog volledig zwart aan. Dat is met name, en niet onterecht, het geval voor afbeeldingen die in de tijd van de guldensporenslag gesitueerd worden. Voorts blijkt in Vlaamse kringen een zekere afkeer te bestaan voor een leeuw die door zijn rode attributen de Belgische kleuren etaleert. De Belgische kleuren gaan overigens terug op de Brabantse leeuw: een gele leeuw op zwart veld, mettertijd (in dezelfde tijd als zijn Vlaamse confrater) voorzien van modieuze rode details.

Maar ook lang vóór België (en ná Lodewijk van Male) vindt men het Vlaamse wapen als 'een zwarte leeuw op een gouden veld' zonder enig rood. Dat is bijvoorbeeld het geval, en systematisch het geval, in de Flandria Illustrata van 1641 (hier geheel te doorbladeren). 

P.S. Mijn eigen exemplaar van de leeuwenvlag heb ik hier gekocht. Mijn leeuw heeft rode attributen, omdat ik dat mooier vind dan een volledig zwarte, die op mij altijd een zeer 'vlakke' indruk maakt. Hij is vrij van de witte opmaak waar ik een hekel aan heb. Voor het overige zie ik 'met' of 'zonder' rood als een kwestie van louter mode en smaak. Ik kan mij niet voorstellen dat men heraldisch een 'breuk' baseert op de kleur van de tong en de klauwen, net zomin als op het al dan niet aanwezig zijn van witte tanden. Men mag van mij vinden dat 'Casablanca' zwart-wit moet blijven, maar men kan evengoed menen dat de film beter is in kleur, en dat men de film in kleur zou gemaakt hebben als men daar toen de middelen voor had gehad.

Casablanca (origineel)

Casablanca (ingekleurd)

Toegevoegd 11 augustus 2024. 

David Littlejohn, Foreign Legions of the Third Reich Vol. 2: Belgium, Great Britain, Holland, Italy and Spain, 1987 (hier) vernoemt op blz. 62:

Dit mouwschildje van het Vlaamse NSKK vertoont onmiskenbaar een leeuw met rode tong en klauwen. Aan militaria-verzamelaars wordt dit collector's item als volgt aangeboden:

Het is verrassend dat men deze Vlaamse Leeuw met rode attributen uitgerekend aan het Oostfront aantreft.

Twee gedichten uit het collectief geheugen

In het collectief geheugen van de Lage Landen zit De pruimeboom vast verankerd. Voor de velen die na enkele regels blijven steken volgt hier de gehele tekst, en de Vlamingen krijgen er nog Het geschenk bovenop. De moraliserende clausule Als gij wel leert en braaf zijt kon het aristocratische Jantje van de pruimen even goed te horen hebben gekregen. Maar bij Loveling volgt nog een verrassend tweede luik, dat de onvoorspelbare gang van het aardse leven weerspiegelt. Wie meent dat dit kitsch is verwijzen we naar Hugo Claus, die ooit gezegd heeft dat de hele wereldliteratuur rond een zeer klein aantal thema's draait, en dat ze elke week in de Story staan.

*

 

Hieronymus van Alphen – De pruimeboom, Eene vertelling (1778)

Jantje zag eens pruimen hangen,

    o! als eieren zo groot.

 't Scheen, dat Jantje wou gaan plukken,

    schoon zijn vader 't hem verbood.

 Hier is, zei hij, noch mijn vader,

    noch de tuinman, die het ziet:

 Aan een boom, zo vol geladen,

    mist men vijf zes pruimen niet.

 Maar ik wil gehoorzaam wezen,

    en niet plukken: ik loop heen.

 Zou ik, om een hand vol pruimen,

    ongehoorzaam wezen? Neen.

 Voord ging Jantje: maar zijn vader,

    die hem stil beluisterd had,

 Kwam hem in het loopen tegen

    voor aan op het middelpad.

 Kom mijn Jantje, zei de vader,

    kom mijn kleine hartedief!

 Nu zal ik u pruimen plukken;

    nu heeft vader Jantje lief.

 Daar op ging Papa aan 't schudden,

    Jantje raapte schielijk op;

 Jantje kreeg zijn hoed vol pruimen,

    en liep heen op een galop.

* *

Rosalie Loveling – Het geschenk (1870)

I

Hij trok het schuifken open,
Het knaapje stond aan zijn zij
En zag het uurwerk liggen:
'Och, Grootvader, geef het mij!'

- 'Ik zal 't u wel eens geven,
Toekomende jaar misschien,
Als gij wel leert en braaf zijt,'
Zei de oude, - 'wij zullen zien.'

'Toekomend jaar!', zei 't knaapje,
'O, Grootvader, maar dan zoudt
Ge lang reeds kunnen dood zijn;
Ge zijt zo ziek en zo oud!'

En de oude stond te peinzen,
Hij dacht: 'het is wel waar!'
En zijn lange vingeren streelden
Des knaapjes krullend haar.

Hij nam het zilvren uurwerk,
En de zware keten er bij,
En lei ze in de gretige handjes:
''t Komt nog van uw vader,' sprak hij.

II

Daar was een grafje gedolven;
De scholieren stonden er rond,
En een oude man boog met moeite
Nog ene knie naar de grond.

Het koele morgenwindje
Speelde om zijne haren zacht;
Het gele kistje zonk neder;
Arm knaapje, wie had dat gedacht!

Hij keerde terug naar zijn woning,
De oude vader, en weende zo zeer,
En lei het zilveren uurwerk
In 't oude schuifken weer.

* * *

Hilarisch "Vlaams"

(Noord-)Nederlanders plegen zich vrolijk te maken over de eigenaardigheden van het "Vlaams" dat ze van de "Belgen" te horen krijgen. Doorgaans niet zonder reden, want voor een natie waarin iedereen verplicht schoolloopt tot zijn 18de is het huilen met de pet op. Het is waar, Zwitsers hebben er geen probleem mee dat hun Duits door niemand te verstaan is (ook niet door die van de naburige vallei) en Oostenrijkers vallen al door de mand bij hun eerste zin, om van de Schotten en Amerikanen nog te zwijgen, maar toch... wij Vlamingen die pas nu langzaam omhoogklauteren uit eeuwen van onderontwikkeling en achterstand zouden hoger mogen mikken.

Tot de klassiekers van Hollandse vreugde behoort de "tas koffie". Hahaha, een (draag)tas gevuld met koffie! Nu, "tas" is een perfect respectabele overname uit het Frans, die b.v. ook in het Duits gebeurd is ("eine Tasse Kaffee"). Bovendien is hier de correcte uitspraak behouden, wat met het kinderachtige "paraplu" (voor "parapluie") niet het geval is. Het grappige van "tas" zit blijkbaar hierin, dat "tas" ook iets anders kan betekenen. Inderdaad, in het Duits zijn "Tasse" en "Tasche" nog onderscheiden, maar in het Nederlands zijn beide, volgens algemene taalregels, "tas" geworden. (Geworden, want mijn oude buurman die Heusdens dialect sprak zou het ene "tassche" noemen en het andere "tasse". Ook in zijn "mensch" en "bosch" klonk nog de -sch.) Ja, en dan? De context lost de dubbelzinnigheid tussen de beide "tassen" natuurlijk op. Overigens, met de Hollandse "kop" is het al niet beter gesteld: de mededeling "hij hield zijn kop onder de kraan" is zonder context niet begrijpelijk. Er zijn tal van andere voorbeelden te geven. In ons werkwoord "wassen" zijn samengevallen het Duitse "wachsen" ("groeien", zoals in "aanwas", "volwassen", "wassende maan" enz.) en "waschen" (met water schoonmaken). En wat zouden wij zonder context moeten denken van iemand die zijn vader "slacht": slacht hij hem af of lijkt hij erop? De smurfen bewijzen overigens dat men de helft van de woorden veilig door het zinledige "smurf" kan vervangen. Als de context voldoende sterk is begrijpen wij volkomen wat "gezegd" wordt!

(Het vervolg van deze taalkundige post is aan de ruige kant. 

Lees vooral niet verder als u fijnbesnaard bent en/of niet de vereiste leeftijd hebt.)    

Een topper in het genre "hilarisch Vlaams" is de Zuid-Nederlandse betekenis van (horresco referens, maar het moét nu eenmaal) "poepen". Hahaha, die Belgen toch! Toch maar even afwachten alvorens op de dijen te kletsen. Kent u de hilarische Vlaamse woorden "doef" (voor "drukkend") en "stoefen" (voor "pochen")? Welnu, Vondel, Huygens en tijdgenoten gebruiken ze ook in die betekenis, maar gespeld als "dof" en "stoffen" (WNT onder DOF-II en STOFFEN-III). Nederlanders zijn die woorden kwijtgespeeld, maar in het Vlaams zijn ze springlevend gebleven— zoals alle Vlamingen in hun dialecten ook de geslachten van de zelfstandige naamwoorden nog correct gebruiken, zonder zich daar bewust van te zijn. Het Zuiderse "poepen" is (taalkundig) ontstaan door eenzelfde klankverandering als "doef" en "stoefen": oorspronkelijk was het in heel het Nederlandse taalgebied "poppen" (WNT onder POPPEN-II).

De etymologie van het woord is alleraardigst. De verste voorvader ervan is de proto-Indo-Europese wortel *peh₂w-, betekenend "klein", die men terugvindt in de Latijnse woorden puer (kind), pup(p)us, kleine jongen en pup(p)a, klein meisje, speelpop. Het Nederlands "poppen" betekent eigenlijk: "met de pop spelen", vandaar "spelen" in het algemeen, en (aldus WNT onder POPPEN-II) in het bijzonder in toepassing op den omgang der beide sexen met elkaar, op het minnespel. Het oudste citaat in WNT is van 1620, het duidelijkste van 1654: "gepopt ofte geboeleert".

Het huidige Zuid-Nederlandse "poepen" valt ongelukkigerwijze samen met een gelijkluidend werkwoord van geheel andere herkomst. In het Nederlands-Latijns woordenboek van Cornelis van Kiel a.k.a. Kilianus (hier te consulteren, editie 1599) is "poppen" nog onbekend, maar men vindt er wel:

Een vertalend Latijns woordenboek leert dat submissè/submissim = zacht, en pedere = een wind laten. Het zacht hoort er wel degelijk bij, want Oxford English Dictionary geeft eveneens als eerste betekenis: to poop = to break Wind backwards soflty. "Poepen" zou een klanknabootsing zijn, "poep" zijnde "het geluid dat men maakt wanneer men de lippen rondt en vooruitsteekt, vervolgens plotseling den adem laat ontsnappen en dan de lippen weer sluit" (WNT onder POEP-I). Tja. Oxford English Dictionary is een stuk korter en duidelijker: to pop =  to make a small quick explosive sound.

Veel jonger is de betekenis van "poepen" als "zijn gevoeg doen". Niemand minder dan Gezelle heeft "poeppen" in die betekenis opgetekend, erbij noterend dat het "kleine kinders" gold (WNT onder POEPEN-I). Ook OED vermeldt to poop eerst laat (1903) en bovendien used of and by children (OED onder POOP, v.-1). Het woord wordt, ondanks Gezelle, in die betekenis in Vlaanderen helemaal niet (meer) gebruikt. Des te vreemder is het, dat "poep" ondertussen universeel (kinder-)Vlaams geworden is voor "achterwerk"—het lichaamsdeel blijkt overigens ook in Groningen zo te heten (WNT onder POEPEN-II).

Samengevat hebben we dus:

poppen=met de pop spelen > geslachtsgemeenschap hebben (oud, en nu enkel in het Zuiden, met klinker "oe")

poepen=een wind laten (oud) > zijn gevoeg doen (jong, en nu enkel in het Noorden)

chronologisch meer bepaald

poepen= een wind laten (Middelnederlands pûpen, ook geattesteerd 1599)
poppen/poepen=geslachtsgemeenschap hebben (geattesteerd 1620)
poepen= zijn gevoeg doen (geattesteerd 1889)

*

P.S. Dat beide activiteiten zich anatomisch gezien in dezelfde buurt afspelen maakt de dubbele betekenis des te spannender. De geïnteresseerde taalliefhebber kan in dit verband (achterkant/voorkant) ook met vrucht deze post consulteren.

Artistieke wiskunde: opus V — het veelvlak van Szilassi

Literatuur:

[C] Ákos Császár, A Polyhedron without Diagonals, Acta Sci. Math. Universitatis Szegediensis 13, (1949-50), 140-142 (hier)

[G] Martin Gardner, Mathematical games — In which a mathematical aesthetic is applied to modern minimal art, Scientific American 239 no 5 (november 1978), 20-24 (hier)

[L1] Lajos Szilassi, On some regular toroids

[L2] Lajos Szilassi,  Regular Toroids, Structural Topology 13 (1986) (hier)

*

Volgens de editor van Acta Scientiarum Mathematicarum (hier) begint het verhaal van het veelvlak van Császár met een wedstrijd voor studenten, in 1948. De opgave luidde: bewijs dat het viervlak het enige veelvlak is zonder diagonalen, m.a.w., waarin elke twee hoekpunten verbonden zijn door een ribbe. Deze formulering is enkel geldig voor convexe veelvlakken, want in 1949 maakte Császár in [C] het bestaan bekend van een niet-convex 14-vlak met 7 hoekpunten en 21 ribben, zonder diagonalen.

In [L1] deelt Szilassi mee dat hij in 1977 het topologisch duaal van het Császár-veelvlak onderzocht, een 7-vlak met 14 hoekpunten en 21 ribben. Met behulp van een computer werd dit duale veelvlak uiteindelijk herleid tot een 7-vlak waarvan de zijvlakken eenvoudige zeshoeken zijn, namelijk 3 stellen van 2 congruente (niet-convex) en 1 convexe. In 1978 kon men in [G] een perspectiefzicht van het veelvlak aantreffen:

alsook de zeven zijvlakken:

In [L2] geeft Szilassi zelf de zijvlakken, genummerd 1-6, als volgt:

(in de linkse figuur zijn de zijden onbedoeld enigszins vervormd weergegeven) en in het perspectief geeft hij bij elk hoekpunt de nummers van de drie zijvlakken die er samenkomen:

Men vindt dan natuurlijk zelf bij elke ribbe de nummers van de zijvlakken waar die ribbe de snijlijn van is. Bovenaan b.v. zijn de hoekpunten 615 en 162 verbonden door de ribbe 16, snijlijn van de zijvlakken 1 en 6. Bovendien bevat [L2] ook alle maten van elk zijvlak afzonderlijk:

M.b.v. deze maten kan men de zijvlakken perfect construeren, zoals in de figuur hieronder die getekend is met GeoGebra. Om de symmetrie te benadrukken heb ik de zijvlakken die bij Szilassi 3,4 en 7 heten anders geschikt (hieronder rechts). De linkse figuur vertoonde al vier horizontale lijnstukken (aangegeven met horizontale lijntjes) en dat is nu rechts eveneens het geval. Beide figuren heb ik vertikaal gealigneerd, en dan de rechtse figuur zo verschoven dat het geheel perfect in een vierkant past. Beide figuren hebben een punt van symmetrie (aangegeven) en de congruente zijvlakken zijn ingekleurd met complementaire kleuren: rood-groen, blauw-oranje, paars-geel. (Opmerking: de hoek linksonder, waar blauw en rood samenkomen, is kleiner dan 90°, zodat er geen verticale lijnstukken zijn.)

In deze kleuren uitgevoerd ziet het perspectiefzicht er als volgt uit:

Men kan nog net vier van de zijvlakken zien. Tot de onzichtbare zijvlakken behoort het zwarte zijvlak (een rechthoek met twee hoeken afgeknipt); het ligt horizontaal en dient als plafond van de holte. Het lijkt ons iets meer voor de hand te liggen de figuur op zijn kop te zetten, zodat men bovenop het zwarte zijvlak kijkt. Dit zijvlak—het regelmatigste van de zeven, met twee rechte hoeken—dient dan als 'grondvlak' van de holte en van de hele figuur. De symmetrieas loopt verticaal. Aan de eigenschap van het Császárveelvlak (elke twee hoekpunten zijn verbonden door een ribbe) beantwoordt bij Szilassi de duale eigenschap: elke twee zijvlakken hebben een ribbe gemeen. Die eigenschap bezit ook het viervlak, dat immers zijn eigen duaal is.

Materiële uitvoering

Geogebra levert van de zijvlakken, getekend volgens de maten die Szilassi geeft, ook de hoekpunten met coördinaten zo precies als men wil. Ik heb die coördinaten op de millimeter afgerond, overgebracht op millimeterpapier en dan met een naald doorgedrukt op zwaar tekenpapier van de juiste kleur. Hieronder de zijvlakken uitgeknipt en met doorzichtige tape verbonden, een geheel van 35 cm hoog. De achterzijden hebben dezelfde kleur als de voorzijden, maar ik heb er stippen opgezet om de beide kanten te kunnen onderscheiden.

De vier zijvlakken links worden als volgt ruimtelijk gemonteerd:

de bovenste twee (groen en oranje) worden overeind gezet, de onderste twee (rood en blauw) naar achteren geklapt; groen wordt aan blauw vastgeplakt en rood aan oranje. Men krijgt op die manier een open viervlak dat rust op het blauwe zijvlak.

Met de drie zijvlakken rechts gaat het als volgt:

het rode en het gele zijvlak worden overeind gezet en dan aaneengeplakt. (Van beide ziet men nu de onderkant, met de stippen.) Er ontstaat een vreemd open drievlak met twee zijvlakken die buitenmatig lang en dun zijn.

Het rechtse drievlak, zo vastgehouden dat het zwarte vlak het 'plafond' van de holte links moet worden, kan perfect in die holte geschoven worden, met het gele zijvlak als eerste.

Hieronder, ter vergelijking, het perspectiefzicht volgens Geogebra en zijn materiële uitvoering in aaneengeplakt tekenpapier. (Door de schaduwen wordt het gele tekenpapier groenachtig weergegeven, en het oranje bruinachtig.)

Op zijn kop gezet, met de zwarte zeshoek als 'grondvlak':

Acryl op canvas

Het opengeklapte Szilassiveelvlak, met acrylstiften in zeven kleuren op een canvasplaat van 60 op 60 cm:

Omheen de eigenlijke figuren is een rand van 1 cm breed aangebracht, waarin de kleur getoond wordt van de aangrenzende zijvlakken. Elk zijvlak is dus omringd door de kleuren van de zes zijvlakken waarmee het een ribbe gemeen heeft.

De resulterende figuur, hoewel uiteraard helemaal 'abstract', heeft een vreemde expressiviteit. Ikzelf zie links een Afrikaans tovenaarsmasker met open mond, en rechts de weergave van een vervloeking die uit die mond komt. (In stripverhalen zijn bliksemachtige vormen, zoals de rechtse figuur is, geliefd bij krachttermen.)