Stel, we beschikken over 6 kleuren (de kleuren 1,2,3,4,5,6) en willen daarmee een kubus kleuren, 1 kleur per zijvlak. Op hoeveel manieren kunnen we dat doen? De kubus mag vrij gedraaid worden, we beschouwen de kleurenconfiguratie dan niet als veranderd. We mogen dus aannemen dat het bovenvlak van de kubus, als hij op tafel ligt, kleur 1 heeft. Voor het eerste zijvlak kunnen we uit 5 kleuren kiezen, voor het zijvlak rechts daarvan uit 4, voor het zijvlak nog rechts daarvan uit 3, en voor het laatste zijvlak uit 2. Voor de zijvlakken hebben we dus 5x4x3x2 mogelijkheden genoemd, maar er zijn dubbelgetelde bij. De kleuropvolging 2-3-4-5 (het eerste zijvlak kleur 2, en dan naar rechts 3-4-5) heb we ook geteld als 3-4-5-2 (het eerste zijvlak kleur 3, en dan naar rechts 4-5-2), ook als 4-5-2-3 en ook als 5-2-3-4. Elke kleuropvolging is dus 4 keer geteld, zodat er voor de zijvlakken niet 5x4x3x2 mogelijkheden zijn, maar het vierde daarvan: 5x3x2=30. Voor het ondervlak is er maar 1 keuze, de niet-gebruikte kleur. Er zijn dus 30 verschillend gekleurde kubussen met de gegeven kleuren als zijvlakken. (Elk daarvan heeft een spiegelbeeld, dat wel degelijk onder de "andersgekleurde" voorkomt.)
Martin Gardner heeft in
Scientific American interessante beschouwingen gewijd aan de 30 gekleurde kubussen (
hier een reprint van 1992). Gardner navolgend stellen we, zoals in de hiernavolgende figuur, elk van de kubussen voor door een vierkant (het bovenvlak, waar we bovenop kijken) met 4 aangrenzende trapezia (de zijvlakken die we in een vertekenend perspectief zien). Het ondervlak zien we uiteraard niet. Op de vijf zichtbare vlakken kunnen we hun respectieve kleur aanbrengen (in zwart-wit door een cijfer of een grafische code, zoals in de heraldiek gebruikelijk is). Het onzichtbare ondervlak heeft dan de kleur die overblijft van het gegeven zestal.
Gardners figuur 38 geeft de schikking van de 30 kubussen in een rooster dat afkomstig is van Conway (ja, de Conway van de surreële getallen).
De witte diagonaal is een as van symmetrie, 15 kubussen staan aan de ene
kant ervan en hun spiegelbeelden aan de andere kant. Met deze schikking
is o.m. de volgende vraag gemakkelijk te beantwoorden:
Aannemend dat gelijkgekleurde zijvlakken aan elkaar plakken en
andersgekleurde niet, pik er 1 kubus uit en plak 8 andere kubussen zo
aan elkaar dat een verdubbelde versie van de eerste ontstaat (met
zijvlakken die dus elk bestaan uit 4 van de oorspronkelijke zijvlakken). Voor het antwoord zie men het artikel van Gardner.
De matrix van Conway heb ik materieel uitgevoerd in acryl op een canvasplaat van 60 op 60 cm. Mijn kleurkeuze volgt het spectrum: 1= zwart, 2= violet, 3= blauw, 4= groen, 5= geel, 6= rood. Misschien maak ik ook nog een versie waarin de hele schikking 45° gedraaid is, zodat de symmetrieas vertikaal in het canvas staat. Om een idee te geven: hieronder het hele canvas gedraaid i.p.v. alleen de figuur.
