Het plastisch getal (1)

In oktober 2018 kwam ik voor het eerst in de abdij Roosenberg in Waasmunster voor een concert in de kapel. In de marge daarvan werd ons gezelschap rondgeleid in het gebouw, waarvan mij tot dan toe geen bijzondere reputatie bekend was. Ik vernam dat de abdij (die op mij geen bijzondere indruk maakte) een architectuurparel was, ontworpen door de Nederlandse Benedictijn Hans van der Laan (gestorven 1991). Uit de uitleg begreep ik dat bepaalde weldoordachte beginselen aan de grondslag van het gebouw lagen, en dat daarin een bijzondere rol gespeeld werd door het 'plastisch getal'. Ook daarvan vernam ik toen pas het bestaan. Het 'plastisch getal' wekte mijn achterdocht op doordat zijn wondere eigenschappen mij deden denken aan het al even magische 'gulden getal'. Nieuwgierig geworden heb ik boeken, artikelen en personen geraadpleegd, die mij helaas geen stap verder hebben gebracht. Mijn voornaamste geschreven bronnen zijn de volgende:

• [MS] Luka Marohnić and Tihana Strmečki, Plastic Number: Construction and Applications, Advanced Research in Scientific Areas, december 3-7 2012 (hier)
• [VDL1960] H. van der Laan, Le nombre plastique, Quinze leçons sur l'ordonnance architectonique, Brill Leiden 1960. [Franse vertaling van een Nederlands manuscript] (relevante bladzijden hier)
• [VDL1977] H. van der Laan, De architectonische ruimte, Vijftien lessen over de dispositie van het menselijk verblijf, Brill Leiden 1977 (relevante bladzijden hier)

*

De eerste vraag is natuurlijk: wat is het 'plastisch getal'? Wie daarvoor te rade gaat bij de founding father zelf komt bedrogen uit.

 In [VDL1960] vinden we

Nous voyons donc naître ainsi un genre de nombre tout nouveau dont la caractéristique est d'être en relation avec la quantité discrète du nombre abstrait aussi bien qu'avec la continuité de l'étendue concrète. Nous l'appelons "nombre plastique". (p.17)

Voor zover ik heb kunnen nagaan wordt dit 'nieuw soort getal' verderop niet gedefinieerd. Het kan zijn dat ik erover gekeken heb, want Van der Laan drukt zich in duister en langdradig proza uit.

In [VDL1977] is het al niet beter.

Ieder abstract getal houdt een verwijzing in naar de absolute eenheid die in zichzelf gekend is, terwijl bij de ordonnantie alle maten die ordes en types van grootte concretiseren, verwijzen naar een marge, een eerste speelruimte, waarbinnen wij de groottes identiek noemen.
Indien nu deze speelruimte objectief wordt vastgesteld om een vaste basis te verkrijgen waar alle maten van het gebouw naar verwijzen, ontstaat er een soort getal waarin de hele ordonnantie zijn uitdrukking kan vinden. Wij noemen dit het Plastische Getal, om het samentreffen aan te duiden van de continue kwantiteit van de concrete grootte en de discrete kwantiteit van het abstracte getal. (p.73)

In de 130 bladzijden die op dit citaat volgen heb ik geen definitie van het plastisch getal kunnen vinden. In de 70 bladzijden die eraan voorafgaan is VDL er zelfs niet in geslaagd duidelijk te maken wat hij met zijn 'ordes', 'types' enzovoort bedoelt. Misschien wordt enkel langdurig 1 thema omspeeld, nl. dat alle waarnemingen en metingen een bepaalde tolerantie hebben (maar zo simpel en duidelijk staat het er niet).

1. Wiskundige eigenschappen van het plastisch getal

Het plastisch getal is blijkbaar door sommige wiskundig denkende volgelingen van VDL uit de windselen gehaald, want in [MS] vinden we het kort en bondig als volgt geïntroduceerd.

Op het bord hieronder wordt deze definitie in zijn context geplaatst en veralgemeend.

De bijzondere gevallen leveren respectievelijk het gulden getal Φ en het plastisch getal ψ op:

De expliciete gedaante (2) volgt uit de bekende formules voor het oplossen van een derdegraadsvergelijking van de gedaante x³+px+q=0.

In zekere zin kan men het plastisch getal opvatten als een soort gulden getal met een dimensie meer: de definitie bevat een macht 3 tegenover de macht 2 voor het gulden getal, en de eigenschap §2.2 slaat op drietallen i.p.v. koppels. Zo volgt uit de definitie zelf dat

 

Hiermee is de wiskundige analogie tussen het gulden en het plastisch getal ongeveer uitgeput. Van dit alles vindt men bij VDL niets, of het zou moeten zijn dat de eigenschap §2.2 ergens in zijn zweverig —en zeer onwiskundig— proza verborgen zit. Die eigenschap kan men ook meetkundiger formuleren: als de balken met respectieve afmetingen (a,b,c) en (b,c,a+b) gelijkvormig zijn, dan is de gelijkvormigheidsfactor het plastisch getal, en de balken zijn gelijkvormig met de balk met afmetingen (1,ψ,ψ²).

Een irrationaal getal als ψ is totaal ongeschikt om in de architectuur gebruikt te worden. VDL heeft het dus, als hij numeriek wordt, altijd over de simpele benadering 4/3, en voor de machten van ψ heeft hij ex machina de volgende eenvoudige benaderingen bedacht.

Numeriek uitgedrukt met vijf cijfers na de komma zijn deze benaderingen:

De grootste afwijking zit in de benadering van ψ⁷ door 7; de fout bedraagt ongeveer 2%.

*

 Wordt hier vervolgd