31 January 2016

Wat is een trapezium?

Op de bovenstaande vraag is het antwoord enkel in etymologische zin eenvoudig: in het Grieks is trapeza = tafel, en trapezion = tafeltje.


Blijkbaar hadden de oude Grieken tafeltjes met uitklapbare poten, die naar naar buiten helden als het tafeltje opgesteld stond. In het vooraanzicht van zo'n tafeltje herkent men zonder moeite de meetkundige figuur die bekend is als gelijkbenig trapezium. Maar wat is de algemene definitie?


De oudheid: definities 1 en 2

Euclides begint zijn Elementen met een lijst van 23 definities, met als voorlaatste
22. Over vierzijdige figuren: een vierkant is een figuur die rechthoekig en gelijkzijdig is, een rechthoek de figuur die rechthoekig maar niet gelijkzijdig is, een ruit een figuur die gelijkzijdig maar niet rechthoekig is, het parallelogram een figuur die gelijke overstaande zijden en hoeken heeft maar noch rechthoekig noch gelijkzijdig is. En laat vierhoekige figuren andere dan deze trapezia genoemd worden.
In onze hedendaagse opvattingen is de verzameling van de parallellogrammen een moederverzameling met als deelverzamelingen: die van de ruiten, daarbinnen die van de rechthoeken, daarbinnen die van de vierkanten. Bij Euclides vormen vierkanten, rechthoeken, ruiten en parallellogrammen disjuncte verzamelingen, en bij hem is er nog een extra disjuncte verzameling: die van de trapezia, waarbinnen alles valt wat geen parallellogram (in de moderne opvattingen) is.


Onder trapezium vallen bij Euclides dus: vierhoeken met exact twee evenwijdige zijden, en vierhoeken zonder evenwijdige zijden. Die benaming is zeer bizar, want er is geen reden om een vierhoek zonder speciale zijden of hoeken anders te noemen dan vierhoek. Men zou die passage bij Euclides zelfs als een corruptie kunnen beschouwen, ware het niet dat Archimedes één enkele keer (Het evenwicht van vlakken stelling 15) spreekt van een trapezium waarvan twee zijden evenwijdig zijn, hetgeen impliceert dat er ook zijn zonder evenwijdige zijden. Die ene plaats lijkt ook de enige bevestiging te zijn (en dan nog onrechtstreeks) van 'trapezium' als 'onregelmatige vierhoek'. Behalve op die ene plaats verstaat Archimedes onder trapezium altijd stilzwijgend trapezium waarvan (exact) twee zijden evenwijdig zijn en ook de trapezia bij Euclides zelf (De Elementen stelling 35, De Verdeling van figuren vanaf stelling 4) zijn vierhoeken met exact twee evenwijdige zijden.

Latere commentatoren hebben die halfslachtige terminologie op logische wijze hersteld: trapezium (tafeltje) voor een vierhoek met exact twee evenwijdige zijden, trapezoïde (onvolmaakt tafeltje) voor een vierhoek zonder evenwijdige zijden. Bij Posidonius e.a. zijn de vierhoeken dus opgedeeld in zes disjuncte verzamelingen.


De bizarre trapezium-terminologie van de Elementen is gelukkig nooit ingeburgerd geraakt, en gedurende twee millennia betekende een trapezium enkel voor wetenschapshistorici eventueel nog iets anders dan een vierhoek met exact twee evenwijdige zijden. In woordenboeken en wiskundeboeken van mindere kwaliteit vindt men vaak vierhoek met twee evenwijdige zijden, waarbij de (terecht) argwanende lezer zich afvraagt of een vierhoek met twee stellen evenwijdige zijden daar ook onder valt. Goede auteurs vermijden dergelijke dubbelzinnigheden. Zo vinden we in Kramers' Algemeene kunstwoordentolk (1847) het trapezium gedefinieerd als een vierhoek met ongelijke zijden, waarvan slechts twee evenwijdig loopen. (Wel met introductie van een nieuwe dubbelzinnigheid: heeft een gelijkbenig trapezium 'ongelijke zijden'?) Exact twee evenwijdige zijden is ook de definitie in de gezaghebbende woordenboeken Oxford English Dictionary en Woordenboek der Nederlandsche Taal. Beide vernoemen ook de definitie van Euclides, maar enkel omwille van haar historisch belang.


 1800: definitie 3

In 1795 verscheen in London A mathematical and philosophical dictionary, 2 volumes, door Charles Hutton (hier te consulteren). Door een vergissing of om een andere obscure reden heeft Hutton de klassieke definities van de woorden trapezium en trapezoïde (in het Engels trapezoid) omgewisseld. Bij hem is een trapezium dus een vierhoek zonder evenwijdige zijden. Het zou om een onschuldige voetnoot in de wetenschapsgeschiedenis gaan ware het niet dat de Verenigde Staten en Canada deze definitie overgenomen hebben en tot de dag van vandaag gebruiken. Een trapezium heeft dus géén evenwijdige zijden in het Amerikaans Engels, en exact twee evenwijdige zijden in het Brits Engels! De verdienste van Hutton is wel dat hij zich uitslooft om niet minder dan 16 eigenschappen te geven van zijn totaal onregelmatig "trapezium". Hironder de eerste drie, figuren inbegrepen.




1900: definitie 4

De drie voorafgaande definities hebben dit gemeen, dat parallellogrammen géén bijzondere trapezia zijn, zoals bij Euclides trouwens àlle definities exclusief zijn: vierkanten, bijvoorbeeld, zijn geen bijzondere rechthoeken. Die laatste opvatting is in de loop der tijden opgegeven, en weinig wiskundigen zullen een vierkant niét als een bijzondere rechthoek zien. Ook (woorden)boeken met een exclusieve definitie van trapezium geven een inclusieve definitie van vierkant. Zo vinden we in de Algemeene kunstwoordentolk voor "quadraat": een gelijkzijdige rechthoek.

De inclusieve definitie vierhoek met minstens één stel evenwijdige zijden lijkt iets van de twintigste eeuw te zijn, en het is opmerkelijk dat exclusiviteit zo lang de regel geweest is voor het trapezium en alleen het trapezium. Als oudste vermelding wordt wel genoemd Wooster Woodruff Beman & David Eugene Smith, New plane and solid geometry (1900), en het is symptomatisch dat zij die definitie in later werk teruggedraaid hebben. In elk geval, vanaf het midden van de twintigste eeuw waren de beide definities zeer concurrentieel en men treft ze gelijktijdig in dezelfde biotoop aan. Zo waren anno 1965 de Vlaamse middelbare meetkundeboeken van Dalle & De Waele exclusief, die van Bilo inclusief.  


2000: kiezen tussen 2 en 4

Bij het begin van de 21ste eeuw lijken de inclusieven aan de winnende hand, en dat is zeer begrijpelijk: een inclusieve opbouw met ineengrijpende deelverzamelingen beantwoordt beter aan de moderne opvattingen dan een exclusieve met disjuncte verzamelingen. Toch is de strijd nog niet beslecht. Hieronder volgen twee 21ste-eeuwse exclusieven, zo van het Internet geplukt:


en (met het Amerikaanse trapezoid voor ons trapezium)


De statige Oxford English Dictionary en Woordenboek der Nederlandsche Taal vernoemen de inclusieve 'nieuwkomer' niet eens!

Samenvatting

Bij elke auteur is 'trapezium' een vierhoek met een kenmerkend aantal evenwijdige zijden. Geordend volgens moment van introductie is dit aantal evenwijdige zijden (zie hierboven):
  1. hoogstens twee
  2. exact twee
  3. nul
  4. minstens twee
en vandaag de dag zijn 'exact twee' en 'minstens twee' beide nog competitief. Tot besluit willen we eens een relevant argument geven ten gunste van de oudste en meest verguisde definitie (Euclides, definitie 1): bij hem is trapezium = afgeknotte driehoek. Recht afgeknot = trapezium met exact twee evenwijdige zijden, schuin afgeknot = trapezium zonder evenwijdige zijden.
 

*