05 August 2015

Wiskunde als vuurproef

Een 'bekend' gezegde

1. Pacioli 1509. In 1509 verscheen Divina Proportione van de hand van Luca Pac(c)ioli. Het is een boek over meetkunde, meer bepaald over de regelmatige en half-regelmatige veelvlakken. De wiskundige inhoud is weinig origineel, maar aan pompeus proza is geen gebrek. Een duistere passage in de Timaeus van Plato over het regelmatig twaalfvlak wordt aangegrepen om de verdeling van een lijnstuk in uiterste en middelste reden, een onmisbare stap in de constructie, uit te roepen tot Goddelijke Verhouding. (Sedert de negentiende eeuw kennen wij die verdeling als de gulden snede.) Luca geeft verschillende motiveringen voor zijn 'goddelijk' adjectief, alle zeer middeleeuws. Zo deelt de gulden snede, die een relatie tussen drie termen is (type a/b=b/c), dit drievoudig karakter met de goddelijke drieëenheid. Van die dingen dus. Gelukkig somt hij ook vele wonderbaarlijke eigenschappen op die louter wiskundig zijn, en bovendien correct (hoewel aan de triviale kant). En er is nog geen spoor van de onzinnige esthetische en quasi-mystieke eigenschappen die men vandaag aan de gulden snede toeschrijft.

Uit zijn voorwoord aan de hertog van Milaan lichten we de volgende passage.
Het is dus niet verwonderlijk dat er vandaag zo weinig goede wiskundigen zijn. Wij moeten de oorzaak zoeken bij het gering aantal goede leraars, bij tafelgeneugten, gemakzucht en leegloperij, en gedeeltelijk ook in de slapheid van de hedendaagse geesten. De geleerden plegen dat meesterlijk te formuleren in het bekende spreekwoord Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. Dat spreekwoord betekent dat vuur de kwaliteit van goud aantoont, en dat de wiskundige disciplines de uitmuntendheid van een geest laten kennen. Een verstand dat toegankelijk is voor wiskunde zal inderdaad zeer gemakkelijk alle andere wetenschappen kunnen begrijpen, want wiskunde is zeer abstract en subtiel, en moet altijd los van de waarneembare materie bekeken worden. 
Het 'bekende spreekwoord' dat Luca hier citeert is

AURUM PROBATUR IGNI, ET INGENIUM MATHEMATICIS
 (Goud wordt met vuur getoetst, en verstand door wiskunde.)

2. Tartaglia 1537. Het gezegde van Pacioli staat ietwat verloren in zijn woordenbrij, maar in 1537 wordt dat anders. In dat jaar verscheen Nova Scientia van Niccolo Fontana, algemeen bekend onder zijn bijnaam Tartaglia, de Stotteraar. Zijn boek heeft als titelblad een fraaie allegorische houtsnede, die weinig méér is dan een grafische weergave van het voorwoord van Luca.


De eigen inbreng van Tartaglia is beperkt. De twee banen van kanonskogels verwijzen naar het onderwerp van het boek, een wiskundige theorie van het geschut. Voorts heeft hij noodgedwongen de aanhef van de Latijnse spreuk onder de lijst veranderd van Corpora loquuntur (de ruimtelichamen zeggen u) in Disciplinae Mathematicae loquuntur (de Wiskunde zegt u), want in zijn boek komen geen regelmatige veelvlakken voor. Al het overige is overgenomen uit Luca, met de woorden omgezet in beelden. Dat geldt voor de hoofdpersonages Aristoteles en Plato (bovenaan), Euclides (onderaan), en de spreuk waar Plato mee zwaait

Nemo huc geometrie expers ingrediatur
(Niemand trede hier binnen die geen meetkunde kent) 

(een Latijnse vertaling van het opschrift dat, volgens de legende, boven zijn Academie stond, hier of hier het hele verhaal). Vooraan in de optocht van kunsten en wetenschappen herkennen we, met de naam aan hun voeten genoteerd: Nicolo Tartalea zelf, omringd door vijf wiskundige disciplines, namelijk de traditionele vier (Arithmetica, Geometria, Astronomia, Musica) met daarbij Prospectiva (Perspectief). Luca argumenteert in zijn voorwoord namelijk dat het er ofwel drie moeten zijn (zonder Muziek) ofwel vijf (met Perspectief erbij). Onderaan opent Euclides de toegangsdeur naar de kennis der dingen. Zoals de spreuk onderaan toelicht: deze weg (die van de wiskunde) is de enige, en de persoon links staat dan ook hulpeloos op een te korte ladder nààst die ene toegangsdeur.

Helemaal bovenaan heeft Tartaglia de 'bekende spreuk' van Luca uit het proza gelicht en met nadruk geafficheerd—met enkele stenografische afkortingen weliswaar, en respectloos onderbroken door de twee wapenschilden.

3. Rivius 1547. Het gezegde vinden we tien jaar later terug in Newe Perspectiva van Johannes Rivius, onder de illustratie. Het wiskundige deel van de zin is lichtjes sterker gemaakt: het voegwoord et is weg, en vervangen door vero (voorwaar). Bovenaan staat (letterlijk vertaald) Er wordt geleefd door de geest, al het overige zal des doods zijn.



Antecedenten

Pacioli zegt dat zijn wiskundespreuk een 'bekend gezegde' is, dat hij aan naamloze sapi (wijzen, geleerden) toeschrijft. Een oudere bron blijkt echter op het hele internet niet te vinden, en het is best mogelijk dat die helemaal niet bestaat. Een gerichtere zoektocht zou moeten beginnen met Campanus, want Pacioli heeft diens Euclides van 1260 bewerkt heruitgegeven, en met name zijn enthousiasme voor de gulden snede blijkt op Campanus terug te voeren. (Zie b.v. Herz-Fischler, A mathematical history of the golden number, 1998.) Er zijn wél verschillende antecedenten voor een gezegde van het type

Zoals goud door vuur wordt aangetoond, zo ook x door y

maar dus niet met x=geest en y=wiskunde. Het oudste dat ik gevonden heb is


met x=vriendschap en y=een moeilijke tijd. De oorspronkelijke Griekse tekst luidt (letterlijk vertaald): de moeilijke tijd (ho kairos) beoordeelt (krinei) vrienden (philous) zoals (hoos) het vuur (to pur) goud (chruson). In de traditionele Latijnse vertaling die erbij hoort is de volgorde van de zinnen omgedraaid: goud wordt door vuur aangetoond, een vriend door de tijd. Het gezegde is een van de vele spreuken van de Griekse toneelschrijver Menander (Siegfried Jaekel, Menandri Sententiae, Teubner 1964, blz. 14), en dat brengt ons in 300vC.

De vaststelling, dat goud met behulp van vuur kan onderscheiden worden van alle andere metalen, gaat dus ver in de tijd terug. Goud is inderdaad het edelste, d.w.z. het meest inerte, van de metalen. Het reageert niet met zuurstof, en kan dus niet verbrand worden. Goudstof in een vuur gegooid verkleurt de vlam niet, anders dan b.v. verpulverd koper. Men vindt het goud onveranderd terug, hoogstens in gesmolten toestand als de temperatuur hoog genoeg was. Het feit was en is aan goudsmeden wereldwijd bekend, en ook alchemisten betrokken het in hun theorie en praktijk. Zo beweert de heilige alchemist Albertus Magnus dat hij zelf vastgesteld heeft dat alchemistisch goud wél verbrandt, zij het pas na vele herhalingen. (Lawrence Principe, The secrets of alchemy, 2013, blz. 59.) Weerstaan aan vuur doet overigens ook, in iets mindere mate, het tweede edele metaal, zilver. Maar zilver is toch aanzienlijk minder inert dan goud, want het wordt door blootstelling aan de lucht gemakkelijk zwart.

De spreuk van Menander vinden wij, met aangepaste x en y, doorheen de geschiedenis terug. Dat is b.v. het geval in het bijbelboek Spreuken, ook bekend als Jezus Sirah of Ecclesiasticus. In Hoofdstuk 2 lezen we (in de Statenvertaling)

6. Want in het vuur wordt het goud beproefd, 
en aangename mensen in de oven der vernedering.

Het Hebreeuwse boek van Jezus Sirah dateert men tussen 200 en 175 vC, meer dan een eeuw na Menander. Na (en misschien naar) Jezus Sirah zijn nog vele varianten vervaardigd, door x en y aan de gewenste boodschap aan te passen. Al die spreuken zijn inhoudelijk aan de zwakke kant, want goud doorstaat vuur onveranderd, terwijl men van vriendschap (Menander), de juiste mensen (Jezus Sirah) of de geest (Pacioli) toch mag verwachten dat zij versterkt uit een beproeving komen. Wat wiskunde betreft is het in elk geval zo, dat zij de geest vormt evenzeer als op de proef stelt.