07 February 2014

Hoezo, "Arabische" cijfers?


Tot de eindeloos opgewarmde politiek-correcte kwakkels behoort, dat ons getallensysteem aan de Arabieren te danken is. Nu, de woorden 'cijfer' en 'algebra' zijn Arabisch, maar daar houdt het ook mee op. Zo is het woord 'tafel' Latijn, maar dat betekent nog niet dat de Romeinen de tafel hebben uitgevonden. Voor onze cijfers, ons getallensysteem en voor de algebra in haar geheel geldt hetzelfde: dat zijn géén Arabische uitvindingen.

Voor onbevooroordeelde informatie citeren we met opzet auteurs uit een niet zo recent verleden, toen geschiedkundig onderzoek nog in vrijheid beoefend kon worden. Dit gezegd zijnde, geschiedenis van de wiskunde valt onder geschiedenis, en is dus—anders dan wiskunde—afhankelijk van bronnen en hun interpretatie. Eén enkele archeologische vondst kan een hele theorie van tafel vegen! Niet onmogelijk dus, dat u ergens anders iets anders leest (al dan niet met 'verborgen agenda'). In elk geval, wij gaan af op
  • Carl B. Boyer, Zero: the Symbol, the Concept, the Number, in: National Mathematics Magazine, 18 (1944), 323-330 (hier)
  • Carl B. Boyer, A history of Mathematics, 2nd ed. 1991 (hier)
  • Florian Cajori, A history of Mathematics, 1909  (hier)
  • Solomon Gandz, The Origin of the Ghubār Numerals, or the Arabian Abacus and the Articuli, in: Isis, 16 (1931), 393-424 (hier)
  • Solomon Gandz, review of B. Datta and A.N. Singh, History of Hindu Mathematics, in: Isis, 25 (1936), 478-488 (hier)
  • W.W. Rouse Ball, A Short Account of the History of Mathematics, 1908 (Project Gutenberg Ebook, hier
  • David Eugene Smith and Louis Charles Karpinski, The Hindu-Arabic Numerals, 1911 (Project Gutenberg Ebook, hier). 


Uitvinders? Zeker niet.

Ons huidige getallenstelsel is een positiestelsel met nul. Het eerste wil zeggen dat de getallen 23 en 32 niet hetzelfde zijn, hoewel ze uit dezelfde symbolen bestaan, en het tweede dat 23 en 230 niet hetzelfde zijn, hoewel 'nul' eigenlijk 'niets' betekent. 

Dit is de reeks cijfers zoals ze te vinden zijn in een Italiaans werk uit ca. 1475 (uit Smith-Karpinski).


Het idee dat onze cijfers 'Arabisch' zouden zijn is niet oud. In de middeleeuwen en de renaissance wist men over het algemeen dat zij Indisch waren, en velen schreven expliciet dat zij van de Hindoes afkomstig waren. Er waren er, zoals de invloedrijke Tartaglia in Italië, die de Arabische oorsprong affirmeerden, terwijl nog anderen de zaak onbeslist lieten. De Arabieren zelf hebben de vondst nooit opgeëist, en hebben altijd erkend dat zij zowel de schrijfwijze als het positiestelsel van de Hindoes overgenomen hadden. Met name is dat het geval voor Mohammed zoon van Moses, afkomstig van Khowārezm, bekend als Al-Khowarizmi. (Smith-Karpinski, [3]-[6])

De Hindoes waren de grootste wiskundigen die op het wereldtoneel verschenen na de Grieken. Met hun typisch algebraïsche inbreng, gebaseerd op het getal, hebben zij de wiskunde bevrijd van het meetkundig kader waarin zij sedert de Grieken opgesloten zat. 
Als men onder 'algebra' verstaat: het toepassen van rekenkundige bewerkingen op allerlei ingewikkelde grootheden, rationale en irrationale getallen zowel als ruimtelijke grootheden, dan zijn de Hindoes de ware uitvinders van de algebra. (Cajori, 109). 
Zij hadden een positiestelsel met tien cijfers, en anno 505 behandelden zij nul als volwaardig getal naast de andere (Boyer, Zero, 328). Daarmee zetten zij een reuzenstap in de richting van de arithmetisering van de wiskunde, die met de analytische meetkunde van de 17de eeuw en het ε-δ-formalisme van de 19de eeuw haar bekroning zou vinden. Hierin hadden de Hindoes  geen voorgangers en geen navolgers. De Babyloniërs en de Maya's hadden ook een positiestelsel (respectievelijk met grondtal 60 en 20), maar het ging slechts om relatieve positie. Er is geen bewijs dat de Babyloniërs hun nul ook aan het eind van getallen gebruikten, en zij konden dus wel 23 van 203 onderscheiden, maar niet van 230 of 2300. (Boyer, History, 77)

Navolgers hadden de Hindoes evenmin.
De Hindoes definieerden hun getallengebied niet, maar het is vrij duidelijk dat het omvatte wat wij nu reële getallen noemen, positief, negatief, en nul. In dat opzicht volgde noch de Arabische noch de Latijnse middeleeuwse beschaving hen, hoewel Al-Khowarizmi, Fibonacci, Sacrobosco, Villedieu, Jordanus en anderen de Hindoegetallen populariseerden. (Boyer, Zero, 329)
(Noteer de vele Europese namen naast de Pers Al-Khowarizmi.) Duizend jaar na de Hindoes werd nul als volwaardig getal geleidelijk heruitgevonden in Europa. De opeenvolgende stappen zijn (Boyer, Zero, 329):
  • Chuquet, 1484
  • Stifel, 1544
  • Tartaglia, 1556
  • Cardano, 1570
  • Girard, 1629.
Aan deze herontdekking heeft de Arabische wetenschap geen deel, want zij heeft geen renaissance gekend, en is in een middeleeuwse fase gestagneerd tot op de huidige dag. (Lees er meer over hier.)


Tussenpersonen? Zeer twijfelachtig.

Blijft nog de mogelijkheid dat wij aan de Arabieren dan toch de schrijfwijze van de cijfers te danken zouden hebben, niet omdat zij ze bedacht hebben (dat is zeker niét zo) maar omdat zij ze tot bij ons gebracht zouden hebben. Niets is minder zeker. De Arabieren zelf onderscheidden twee soorten cijfers, die zij respectievelijk noemden: Hindoe-cijfers (toen gebruikt in het Oostelijk deel van het Arabische imperium, en vandaag nog in heel de Arabische wereld) en gobar-cijfers (gebruikt in Spanje). Beide zijn redelijk verschillend, en de 'onze' zijn duidelijk afgeleid van de gobar. Alles wijst erop dat de Moslims ze niet naar Spanje brachten, maar dat zij ze daar aantroffen. 
Er zijn redenen genoeg om aan te nemen dat de gobar-cijfers bekend waren aan handelaars, en waarschijnlijk aan enkele rondreizende geleerden, lang voordat de Arabieren Noordafrika veroverden. (Smith-Karpinski, [90]) 
De gobar-cijfers zouden afgeleid zijn uit de Grieks-Romeinse tekens op het telraam, abacus in het Latijn, door de Arabieren vertaald als gobar. (Gandz, Origin, 423)

Abacus (rechts, ongelukkig) versus Indische cijfers (links, gelukkig).

De Griekse metropool Alexandrië wordt onveranderlijk genoemd als draaischijf bij de uitwisseling tussen Oost en West. Als de Indische cijfers in Indië uitgevonden zijn, dan kunnen zij op die manier in het Westen geraakt zijn. 
De meest plausibele theorie is die van Woepcke: dat rond de tweede eeuw na Christus, nog voor de nul uitgevonden was, de Indische cijfers naar Alexandrië gebracht werden, vanwaar zij hun weg vonden naar Rome en West-Afrika. (Cajori, 119)
Maar iedereen houdt rekening met de mogelijkheid dat het hele idee van negen cijfers (en zelfs nul) in de Griekse wereld ontstaan is en vandaaruit zijn weg gevonden heeft naar Indië. 
Er zijn ook aanwijzingen dat die reductie eerst plaatsvond in Alexandrië, in het Griekse (alfabetische) getallenstelsel, en dat het idee vandaar zijn weg vond naar Indië. (Boyer, History, 212). 
De herkomst van het systeem wordt doorgaans in India gesitueerd, in de eerste eeuwen van onze jaartelling, hoewel de bewijzen daarvoor ver van overtuigend zijn, en een andere oorsprong—misschien in de Griekse wereld—niet uit te sluiten is (Boyer, History, 326). 
Het is goed mogelijk dat nul ontstaan is in de Griekse wereld, misschien in Alexandrië, en naar Indië overgebracht is toen het tiendelig positiestelsel daar al bestond. (Boyer, History, 231).
Wat de abacus betreft, hier kan de prioriteit van de klassieke beschaving niet geloochend worden. Bijgevolg moet men er rekening mee houden dat met de abacus tegelijk ook de "kunst van de abacus" en de "symbolen van de abacus" van het Westen naar het Oosten zijn gegaan. (Gandz, Review, 485)

Arabische wetenschap 

Het is in deze context misschien nuttig de Arabische wetenschap in haar geheel op haar juiste niveau te situeren.
Ook al bezaten zij niet de uitvindersgeest die de Grieken en de Hindoes onderscheidde, noch het doorzettingsvermogen van de Chinese sterrenkundigen, zij hadden toch de viriliteit van een nieuw volk van overwinnaars, met een verlangen om te begrijpen wat anderen volbracht hadden. (Smith-Karpinski, [95])
De algemene indruk is, dat de Arabieren snel waren in het appreciëren van het werk van anderen—meer bepaald dat van de Griekse meesters en van de Hindoewiskundigen—maar, zoals de oude Chinezen en Egyptenaren, hebben ook zij geen enkel onderwerp systematisch en tot volle omvang ontwikkeld. Men mag aannemen dat hun scholen ongeveer 650 jaar standgehouden hebben, maar als men hun productie vergelijkt met die van de Grieken of de moderne Europeanen, dan is zij globaal genomen tweederangs zowel in kwantiteit als in kwaliteit. (Rouse Ball, Chapter IX, conclusion).
Alvorens de 'Hindoewiskundigen' op dezelfde hoogte te plaatsen als de 'Griekse meesters': let op het ontbreken bij de Hindoes van de vlijmscherpe redeneringen die het werk van de Grieken kenmerkt. (Boyer, Zero, 328).

*
*    *

We zijn begonnen met Arabische vertalingen—het Arabisch sifr, ons cijfer, is een vertaling van het Sanskriet voor 'leeg, nul'— en zullen ook zo eindigen. Hebt u zich nooit afgevraagd waarom de bekendste goniometrische functie sinus (boezem) heet? Die functie werd door de Hindoes gedefinieerd als de halve koorde van de dubbele hoek, en in het Sanskriet genoemd jyā-ardha (koorde-half), afgekort jyā of jīvā. De Arabieren namen het woord fonetisch over als jiba, wat in het Arabisch geen betekenis heeft. Omdat er geen klinkers bijstonden werd het woord jb door latere schrijvers opgevat als jaib (boezem), en werd zo in het Latijn vertaald: sinus. (Victor J. Katz, A history of Mathematics, 1998, 213). Onbedoeld, maar niettemin fraai. Om iets vergelijkbaars—maar wél bedoeld— te vinden moet men al denken aan osculatie (kussen), een differentiaalmeetkundige term ingevoerd door Leibniz voor 'contact van hogere orde dan gewoon raken'.