The remarkable number 39

This charming booklet from 1983

contains 158 pages, three of which are musical partitions and one is ruled to add your own music. The title means The remarkable numbers. In it we find the number 39 with the mention

the smallest natural number for which 

we don't know any remarkable property.

The author (mathematician and co-founder of Oulipo, read also this) is, of course, much aware that this very property makes that number remarkable; if not, it would not be in his book. He continues

The fact of being the smallest will not be considered a remarkable property, 

in order to avoid a dreadful recurrence in the rest of the book.

(Here or here the original entry in French.) We can easily extract a genuine theorem, which also implies that a book called 'The remarkable numbers' is a rip-off.

Theorem. Every natural number is remarkable.

Proof. Suppose, for contradiction, that there are natural numbers that are not remarkable. By the well-ordering property of the naturals, there would be a smallest number in the set of non-remarkable natural numbers. This smallest of non-remarkable numbers would be most remarkable, contradicting the assumption.

Corollary. There is no book containing all remarkable numbers.

*

Madelon in de mist van het schimmenrijk

Definitie. Een groot boek is een (qua vorm en inhoud) meeslepend boek dat ook technisch in orde is, en dus geen tegenstrijdigheden, onmogelijkheden, onwaarschijnlijkheden of taalfouten bevat. Een kenmerk van een groot boek is, dat het bij elke hernieuwde lectuur beter wordt.

Definitie. Een groot schrijver is iemand die minstens één groot boek geschreven heeft.

Volgens die definities kan men dus iemand een 'groot' schrijver noemen hoewel men er maar één boek van gelezen heeft. Dat is bij mij het geval met Multatuli, Joyce, Lucretius en Tolkien. Heel uitzonderlijk zijn auteurs met meer dan één groot boek naast een boel mindere (Hemingway, Elsschot), en nog uitzonderlijker zij, die verschillende grote boeken hebben en geen of bijna geen mindere (Céline). Maar van de meeste van mijn grote schrijvers heb ik één groot boek gelezen naast verschillende die 'minder' tot 'slecht' zijn. In die categorie valt ook de man over wie ik het hier zal hebben: Willem Frederik Hermans. Ik noem hem een groot schrijver op grond van zijn prachtige roman 'Nooit meer slapen'. Al het andere wat ik van Hermans gelezen heb (De donkere kamer van Damocles, Onder professoren, Het behouden huis, Au Pair) viel mij erg tegen.

In 2010 verscheen 

Daarin vond ik naast veel ander boeiend materiaal (o.m. over Hermans' turbulente academische carrière) ook dit (blz.302):

De wetenschappelijke assistent die Hermans destijds was, keek in de angstige oorlogsjaren zijn ogen uit en wist er op de valreep van zijn literaire leven een meesterwerkje over te schrijven. Nog één keer wist Hermans te schitteren. Madelon in de mist van het schimmenrijk is als een laatste groet van een groot schrijver.

Het boek(je) van 130 bladzijden

dateert van 1994. Ik heb het gekocht en met hoge verwachtingen gelezen. Tja, wat zal ik ervan zeggen na die eerste lectuur?

Vooreerst: anders dan bijvoorbeeld Harry Mulisch beheerst Hermans het Nederlands voortreffelijk. Hij kent het onderscheid tussen 'meebrengen' en 'meenemen', tussen de geslachten van de zelfstandige naamwoorden en tussen 'plaats' en 'plek'. Ik, die een muggenzifter ben, heb mijn potloodje enkel moeten bovenhalen om één 'deur' vrouwelijk te maken. (De keukendeur stond op een kier en zij trok hem -ai!- dicht, blz. 61).

Inhoudelijk ben ik er niet warm van geworden. De sfeer van de oorlogshongerwinter is raak getroffen, en daar leent Hermans' sobere stijl zich ook goed toe. (Hoewel ik de oorlogspassage in De Aanslag van Mulisch veel pakkender vind.) Maar het is ook een liefdesroman over een vrouw tussen twee mannen, en dat is maar een houterig geval. Passie is duidelijk niet Hermans zijn ding. Bovendien is de gekozen vorm, die van een dagboek, niet erg overtuigend. De reden voor die inkleding ligt voor de hand: het boek is begonnen als Boekenweekgeschenk toen 'Dagboeken, brieven en biografieën' het thema was. Nu, ik kan mij moeilijk voorstellen dat een verzetsman, zo naïef als hij is, een dagboek laat slingeren met details over aanslagen, onderduikers, geheime zenders en bergplaatsen van wapens! (En zijn onderduikadres in een brief meegeeft aan iemand met wie hij niet opschiet.)

Ook inzake plot moet men bereid zijn wat te slikken. Hier komt een sterk staaltje. (SPOILER ALERT. Lees niet door als het u om de thriller te doen is.) Onze verzetshelden hebben een zender bemachtigd, en nemen zich voor, daarmee informatie naar Engeland te zenden. Daarvoor moeten zij iemand vinden die morse kent. Daarvoor zal Karel (hoewel niet echt een lady's man) een telegrafiste verleiden, moeilijker is het niet. Daarvoor belt hij naar het nummer voor het telefonisch opgeven van telegrammen. 'Na een paar minuten zeuren' met de stem aan de andere kant van de lijn wordt een afspraakje gemaakt, er duikt een bloedmooi meisje op dat al vier jaar verloofd is, tien dagen later bekent Hij aan Haar dat hij verliefd op haar is, en de driehoeksverhouding is een feit. Dit alles op minder dan één bladzijde (blz. 10), ik vind niets uit. Bij Casanova en Choderlos de Laclos vraagt verleiden-à-la-carte behoorlijk meer tijd en moeite! (SPOILER AHEAD.) Op blz. 98 krijgen we de 'verklaring' voor die telefonische bliksemromance: een waarzegster had de telefoniste voorspeld dat iemand haar zou opbellen met de zinnen die Karel inderdaad gezegd had, dat zij op hem verliefd zou worden enzovoort enzovoort. Tja. Van die dingen, dus. Waar zijn die 'paar minuten zeuren' per telefoon dan nog voor nodig? Een bovennatuurlijke voorspelling zou moeten volstaan, lijkt mij.

(Wordt aangevuld na tweede lectuur.)


Toegevoegd 13 juli 2017. Tweede lectuur achter de rug, niets aan mijn bespreking toe te voegen. Ik heb dit keer ook een paar `dromen' aangestreept en voorzien van commentaar `geeuw'. Ik heb nl. een gloeiende hekel aan dromen in boeken en films, omdat het zo ontzettend gratuit is. Het boek deugt dus niet en wordt binnenkort voor een prikje te koop aangeboden.

*

A decimal calendar, launched in the year 2456 (today)

The calendar mess

A calendar tells you the year, the month and the day of the week, according to your culture or favourite religion. But whatever your taste, calendars are a mess. The reason is simple: the solar system is a mess, even the simple sun-moon-earth threesome. Voltaire compared it to a watch, but what a poor one it is! The basic wheel is the "earth" wheel, one turn in 24 hours (more or less, all the wheels wobble a bit). For longer periods, counting full moons is the first choice. Bad luck, because the moon doesn't count in days; it needs more than 29 but less than 30. Counting in solar cycles is more useful still, but, alas, the sun counts neither in days (it needs more than 365 but less than 366), nor in moons (more than 12 but less than 13). Besides being out of tune, our three gears are wobbling, speeding up or slowing down, or changing unpredictably, and it's intrinsically impossible to get things right. Some watch! Who on earth designed this? [pun intended]

Every now and then, things get so bad that interference cannot be postponed. Julius Caesar interfered when seasons were completely out of tune with the calendar, and in 1582 the pope simply cut October 5 tot 14 from the calendar.

(Math Horizons, February 2000. MAA.)

Anti-papists were reluctant to follow, and that's why the communist "October Revolution" happened in (our) November. Months have 28, 29, 30 or 31 days, years 365 or 366, according to some intricate count.

Things become even worse when religions get fussy. For obscure astrological reasons, Christians want their Easter egg served on the Sunday following the full Moon which falls on or after the March equinox (I'm oversimplifying). These conditions combine a conventional religious cycle (seven day weeks) with "real" lunar and solar cycles. Struggling with Easter, the medieval monk Dionysius Exiguus computed when Christ had been born, and started the "Anno Domini" count which is still in use. Some thousand years later, it was found out that Christ had actually been born a few years before Christ. Fortunately, by lack of data, Christmas is fixed conventionally on December 25. Imagine a Christmas copy of the Easter nightmare!

Science takes over

The man who proved Dionysius wrong, the learned French humanist Josephus Justus Scaliger, also came up with a starting point from where to count all known historical events. Here is how he proceeded, in a purely logical fashion. Calendars display two recurring patterns, one returning after 19 years, the other after 28 years. Moreover, in the Roman empire taxes were revised every 15 years, and these "indictions" were also reference points on the time scale, still in use in the middle ages. A megacycle embracing these three cycles should count 19x28x15=7980 years. Scaliger also found out that these three cycles were simultaneously in their first year for the last time in 4713 BC. So he came up with a new starting point: January 1, 4713 BC, and a new period: 7980 years. After that period, calendar events will indeed repeat, and a new cycle starts. (If necessary, because many theologians were convinced that the world would only exist for 6000 years: 4000 before and 2000 after Christ.)

Only calendar freaks count Scaliger years, and not without distorting his system. He used Caesar's calendar, not the pope's, and the Gregorian count differs from the Julian one. Anyhow, here is a page from last year's Old Farmer's Almanac, which was year 6725 of the first Julian Period. (Scaliger would have been displeased with the Byzantine count superior to his own, because his primary goal had been to outdate all recorded historical events.)

Scaliger years did not make it, but his starting point (epoch is the right term) is here to stay. It's omnipresent in astronomical formulas (my sundial program is no exception). Astronomers start counting with Scaliger, more precisely on

January 1, 4713 BC, 12 UT (Universal Time, being noon in Greenwich)

and they simply count the number of 'days' (not midnight to midnight, but noon to noon) since then. On January 2, 4713 BC at 12UT the number was 1, the next noon it was 2 etc. At noon today (February 16, AD 2013) the number was 2456340. (Check it here.) It's as simple as that. Not only noons, every event on the time scale has a unique Julian Day Number ('Julian' after Julius Caesar, who introduced leap years.) For each hour after 12UT, add 1/24 to the JDN number, for each minute, add 1/1440 etcetera.

The first Julian period ends well after AD 3200. There is some time left before astronomers will have to decide what to do: start a new Julian period, or (as I expect) simply count on. The system is logically designed, and free of any religious bias. Among its ingredients there are a few civil conventions, like the 15 year indiction cycle, January 1st, and Greenwich (for the latter, see here). Even so, it's beautiful. So far, the count has no cycles and probably it will be kept without. No messing around with months and leap years to keep the poorly designed cosmic watch operational! In its simplicity, it's very close to linear timekeeping in Robinson Crusoe's way:

Take any infinitely long pole, replace September 30, AD 1639 with January 1, 4713 BC, and off you go!

A decimal calendar

Defining a particular day the usual way requires 8 digits, say 1947-05-11, while its Julian Day Number, 2432317, is shorter. To give it a conventional look, one could write this number as 2432-3-17, giving the impression of years of 10 months (numbered 0,1,...,9) of 100 days each (numbered 00,01,...,99). Doing so, one would extend the ten-day weeks of  the French revolutionary calendar to decimal months of ten weeks and years of ten months. A person born on 1947-05-11 has his 65th birthday on 2012-05-11, which is Julian Day 2456-0-59. Not very catching, is it? But in this decimal calendar, birthday parties should come after 1000 days, not after 365 or 366 as now. And 'living another 1000 days' sounds definitely more magical than 'the earth being more or less in the same place on its ellipse'. (Anne Boleyn would agree.) But even on his 65th 'conventional' birthday, our person can easily tell how many days he has lived so far: 2456059-2432317=23742. You won't repeat this feat the Gregorian way! Telling the day of the week is also a piece of (birthday) cake, once you know that Scaliger's starting day was a Monday. Hence, day 7 was a Monday, and so were the Julian days 14, 21, ..., 2432318 (which is 347474x7). Therefore, day 2432317 (a.k.a. 1947-05-11) was a Sunday.






   

Toon Hermans als jaloerse flierefluiter

Dat waren nog tijden! Op deze foto uit het Iedereen-Rookt-Vrolijk-Mee-tijdperk (1968)

zit Toon Hermans, uiterst rechts, naast Godfried Bomans. Bomans was de peetvader van een van de kinderen van Toon Hermans, en dat detail weet ik uit de boeiende biografie Toon van de hand van Jacques Klöters (zie ook hier). Hermans was een zeer belegen katholiek (wat dat betekent kan men hier lezen) maar dan van een zeer rekkelijke soort. Enfin, het elastiek rekte toch vooral aan de kant die Toon vasthield, en veel minder aan de kant van zijn vrouw. Zij heette Rita Weijtboer, maar we zullen ze, zoals Toon, Rietje noemen om niet te verwarren met de andere Rita (een van zijn vele 'bruiden') waar het verder over gaat. Wij citeren Toon, blz. 186-187.

Toons kant van het elastiek

Rietje leefde zoals de meeste vrouwen in die tijd, met een man die naar zijn werk was en alle aandacht opeiste als hij thuiskwam. Als hij al thuiskwam, want op toernee bleef hij vaak logeren in hotels. (...) Het gezelschap met de twaalf dames reisde per bus. De mooie Rita Blum mocht vaak met Toon mee in diens auto en ze leerde hem goed kennen. (...) 'Toon bleek een uitgesproken knuffeldier te zijn. Kun je je voorstellen, een meisje van twintig, de grote Toon die jou leuk vindt? Hij was toen op zijn best, zag er goed uit, was een beroemdheid. Ik was als betoverd. Begrijp wel, het was zuiver spel, strelen, kussen, lieve woordjes en daar hield het mee op. Hij heeft niemand, ooit, benaderd zonder duidelijk te maken dat er maar één vrouw voor hem was: Rietje. Hij heeft in mijn bed geslapen, armen om mij heen, wanneer hij te moe was of te veel drank op had, vol vertrouwen. We waren heel close, maar het was heel onschuldig allemaal.'  (...)

Het is een keer gebeurd dat Toon met Rita zat te zoenen in de auto in Rotterdam. Ze stonden op een onhandige plaats. 'Op een zeker moment stopte er een politiewagen achter ons en oom agent kwam poolshoogte nemen. Toon vertelde hem dat wij een scène aan het doornemen waren en toen de agent Toon herkende was hij zo verbouwereerd dat hij aan zijn pet tikte en zich verontschuldigde. Prachtmoment!'

'Een leuke gewoonte vond ik het dat hij op toernee het liefst bij mij in bed kroop. Zelfs een keer dat ik mijn hotelkamer deelde met een collega, dat weerhield hem niet. Zij deed maar net of zij sliep. Het tekent de ontspannen sfeer.' (...) Daar [in hotel De Amstel, boven de N.A.R. sociëteit] had ook Rita Blum een kamer. Als zij naar boven was vertrokken klopte Toon wel eens aan. 'Dus niks geen stiekem gedoe en er was ook niets ranzigs aan. Onze "relatie" was zuiver speels, had niets met hartstocht of met verliefdheid te maken, maar berustte wel op een sterke wederzijdse aantrekkingskracht.'

Jaja. 'Knuffelrelatie' is een neologisme waar Bill Clinton nog een puntje kan aan zuigen. Hier het vervolg van het verhaal.

Rietje's kant van het elastiek

Rita Blum werd gevraagd als fotomodel voor een groot bedrijf en kreeg verkering met de zoon van de directeur, een rijke industrieel die op een landgoed woonde. Toon had het er moeilijk mee, voelde zich verwaarloosd. Rita wilde aan de knuffelrelatie een goede vriendschap overhouden, zorgde ervoor dat Rietje ook kennismaakte met haar [Rita's] verkering. Rietje vond die man met zijn mooie camel jas, suède schoenen en dure overhemden ook wel aantrekkelijk en ze ging wel eens met hem dineren terwijl Toon moest spelen. 'Daar wond Toon zich mateloos over op. "Wat doen die twee, waar is dat nodig voor, kan Rietje niet zoals gewoonlijk in de kleedkamer op mij wachten, waarom met die dure meneer van jou de hort op?" Die blitse sportwagen of die auto met chauffeur, die luxe, Toon was echt dodelijk ongerust, want Rietje liet wel blijken dat zij het op prijs stelde.' Rita probeerde Toon dan duidelijk te maken dat die man alleen maar oog had voor haar [Rita, dus] en dat ze elkaar straks weer aan een terrasje met z'n vieren zouden treffen. 'Maar leuk vond hij het niet. Uitgesproken jaloers!'

Toon Hermans als collega

Toon Hermans is in de rijke Nederlandse revue-cabaret-kleinkunst traditie een van de absolute hoogtepunten. Diverse onvergetelijke nummers van hem zijn in het collectief geheugen opgenomen. De Bouwmeester-revue, die in 1939 niet inging op zijn sollicitatie, mag plaatsnemen naast RKO Pictures die Fred Astaire wandelen stuurde (can't sing, can't act, can dance a little) en Decca Records die niets zag in The Beatles (guitar groups are on the way out, Mr. Epstein).

Op blz. 158 van

 (uit 2010) lezen we het volgende.


Toon was niet erg collegiaal tegen de mindere goden in het gezelschap ['Theater Plezier van Floris Meslier' 1947-1950] en noemde Joeks wel eens een 'dood konijn'. Herbert Joeks was een beetje jaloers op Toon, op diens grote succes vooral. Hij was net zo oud en kon net zoveel als Toon, vond hij zelf, alleen kreeg hij de kans niet. Hij kon ook zingen, Weense liedjes, maar het was allemaal Toon Hermans wat de klok sloeg. Achter zijn rug werd Joeks een beetje uitgelachen, al sprak niemand hem tegen, herinnerde Toon zich in zijn Levensboek. En dat dat voortdurende plagen. 'Op een dag moest ik een sketch met hem spelen. Hij en Jan van Ees en ik. Jan en ik hadden samen afgesproken dat wij ook de teksten zouden zeggen die hij elke avond zei. Ik weet het nog goed, Jan en ik zaten al aan een tafel als hij het toneel opkwam. Dan moest hij zeggen: "Mijn vrouw komt wat later vanavond." Maar voordat hij het zeggen kon, zei Jan al: "Je vrouw komt zeker wat later vanavond." Even verderop moest Herbert zeggen: "Ik ga morgen naar het voetballen kijken." Maar voordat hij het zeggen kon, zei ik alweer: "Jij gaat zeker morgen naar het voetballen kijken?" Hij was des duivels na afloop. Maar Jan en ik lachten ons een hoedje.' (...)

[D]e dochter van Herbert Joeks weet te vertellen dat haar vader met iedereen kon opschieten in het vak, maar dat hij Toon Hermans tot zijn laatste levensdagen intens had gehaat. Toon had zijn succes afgepikt. Toon had hem in de weg gestaan. Toon had in scènes van Joeks, die hij heel mooi deed, achter zijn rug smoelen staan trekken zodat het publiek niet om hem, maar om Toon begon te lachen. ['Achter zijn rug uitlachen' in de letterlijke betekenis dus. Fraaie collega! CI]

Fourier Theory, a great mathematical poem

Fourier Series

The greatest inventions of mankind are music and mathematics, and they meet in the theory of Fourier series. A beautiful mathematical theory, which at the same time reveals the interplay between the fundamental frequency and its harmonics, i.e., the mystery of timbre which distinguishes music from sound. The theory originates with

 (Analytical Theory of Heat, full text here or here). 

In this book, Fourier establishes mathematical models for the dissipation of heat, at the same time developing new mathematical tools for their solution. Quite an achievement, not unlike Newton's. From a purely mathematical viewpoint, the most surprising statement is, that 'any' periodic function can be written as a series of sines and cosines. Fourier's argument left much to be desired though, and the first convincing proof was this one (also here), by Dirichlet, 1829. Many different formulations, generalizations and proofs are known by now. In the framework of Riemann integration the theorem, stripped to the bone, can be stated as follows.

Fourier could not have imagined a form so neat and general, because the first sound theory of integration (Riemann, 1854) was still three decades ahead. This or this single page (not going beyond basic integration) suffices for our proof. Add half a page to obtain the familiar form

 

valid if the function is (besides mildly regular) also periodic and continuous. In this form we see the fundamental frequency and its infinite number of harmonics displayed. If you want to hear how it sounds, click this image

and play around with the first thirty-two coefficients (blue for cosines, green for sines).

A mathematician's eulogy

As any book on the subject will teach you: everything about Fourier series is interesting and there are no easy, let alone trivial, results. Pointwise convergence, considered above, is just the first of many, many fascinating aspects. The marvel of the subject was realized early on. In this paper from 1864 Lord Kelvin, the great physicist, describes Théorie de la Chaleur as

Fourier's great mathematical poem

(fourth line of paragraph 4). The quote is frequently attributed to Maxwell, but he doesn't come any closer than "Fourier, in his great work on the conduction of heat..." (The scientific letters and papers of James Clerk Maxwell, ed. by P.M. Harman, Cambridge University Press, 1990-2002, Vol. II, p. 358). But it is true that Maxwell read Fourier's book when he was seventeen, and was deeply impressed. I would have preferred the quote to have been Maxwell's, because Maxwell was a talented poet himself. (Speaking of physicists writing poems: Oppenheimer also did.)