Artistieke wiskunde, opus XVII – wervelende vierkanten

Dit is de uitvoering met acrylstiften op een canvasplaat van 60x60 cm

 en hieronder volgt de toelichting. We gaan uit van een vierkant met zijde 1

 en vinden m.b.v. enkele lijnstukken en cirkelbogen 

(De lengte van AE volgt uit  de stelling van Pythagoras.) De rechthoek ABJI heeft dus als zijden: AB=1 en AI=𝜑. Hij kan verdeeld worden in een vierkant AKLI met zijde 𝜑 en een rechthoek KBJL met zijden KB=1-𝜑 en BJ=𝜑. Door de kenmerkende eigenschap van het getal 𝜑 (die in de figuur hieronder bij het lijnstuk KB vermeld staat) heeft de rechthoek KBJL dezelfde vorm als de oorspronkelijke rechthoek ABJI, alleen is hij met een factor 𝜑 verkleind en 90 graden in wijzerzin gedraaid.

Op de rechthoek KBJL kan de werkwijze herhaald worden: splitsen in een vierkant en een rechthoek van dezelfde vorm als de eerste, opnieuw verkleind en opnieuw gedraaid, enzovoort. Na vier stappen eindigen we met een rechthoek RQOM die vier keer met een factor 𝜑 verkleind is, maar die dezelfde ligging heeft als de eerste.

De werkwijze kan oneindig voortgezet worden. Er ontstaat op die manier een oneindige rij vierkanten die in wijzerzin ronddraaien en bij elke stap met een factor 𝜑 verkleind worden. Man kan aantonen dat het punt waarrond de werveling gebeurt het punt U is dat in de figuur hieronder aangegeven is.

In de concrete uitvoering in acryl zijn afgebeeld: de constructie van 𝜑 (in goudkleur twee lijnstukken en twee cirkelbogen) en twee generaties van de wervelende vierkanten. De eerste vier vierkanten zijn zwart, rood, blauw en paars, en hierna worden de kleuren herhaald voor de vierkanten van de volgende generatie. Men moet zich voorstellen dat de werkwijze oneindig doorloopt in het wit gebleven rechthoekje.