Artistieke wiskunde, opus XII — 324 vierkantjes in vier kleuren

Het raster hieronder bevat 18x18 vierkantjes, uitgevoerd in de vier kleuren rood, groen, blauw en grijs.

Het heeft de volgende eigenschap: als men vier vierkantjes kiest die de hoekpunten van een rechthoek vormen, dan hebben die vier vierkantjes niet alle dezelfde kleur. Bij wijze van illustratie zijn hieronder drie rechthoeken uitgekozen waarvan drie van de vier hoekpunten een zelfde kleur hebben, maar het vierde hoekpunt dus niet. (Men moet de vierkantjes als meetkundige "punten" opvatten; één enkel vierkantje, of gealigneerde vierkantjes, vormen dus geen rechthoek.)

 

Tot 2012 was onbekend of een dergelijk raster wel bestond. In dat jaar werd de vraag positief beantwoord door Bernd Steinbach en Christian Posthoff, en als

Extremely Complex 4-Colored Rectangle-Free Grids: Solution of Open Multiple-Valued Problems

gepubliceerd in de Proceedings van IEEE 42nd International Symposium on Multiple-Valued Logic

(IEEE = Institute of Electrical and Electronics Engineers). Het probleem stond als extremely complex geklasseerd.

Voor onze praktische uitvoering (acryl op canvas) hebben wij bleke kleuren als wit, geel of oranje vermeden, omdat op deze kleuren de witte roosterlijnen niet goed aftekenen. Ons grijs gaat uiteraard ten koste van de kleurigheid. Materiaal: canvasplaat PEACOCK 60x60 cm, acrylstiften POSCA in dikten 3M en 5M, witte uni-ball SIGNO broad. 

De blauwe "L" in het kwadrant rechtsboven is de enige "letter" die herkenbaar voorkomt, d.w.z. in een kleur die niet paalt aan vierkantjes in dezelfde kleur. Om die reden is de plaat op die wijze gedraaid opgehangen.

 

Artistieke wiskunde, opus XI — Binaire benadering van PI

Dit werkstuk (acryl op een canvasplaat van 60x60 cm) bestaat uit 400 vierkantjes met blauw afgeboord, sommige wit, andere grijs, en een rode lijn die ongeveer in het midden begint en eindigt linksboven tegen de rand. Er is niet veel uitleg nodig om te weten wat er staat. Men volgt gewoon de rode lijn van bij zijn begin, doorloopt de opeenvolgende vierkantjes, en noteert 1 als het vierkantje grijs is en 0 als het vierkantje wit is. Bij de overgang van het tweede naar het derde vierkantje staat een duidelijke scheiding aangegeven door een dwarsstreepje. Op die plaats noteert men een punt of een komma als scheidingsteken. Men leest op die manier 

11,00100100 0011111101101010100010001000010...1

want het 400ste en laatste cijfer is een 1 (het grijze vierkantje linksboven). Dit is een binaire benadering van PI met 398 cijfers na de komma. Het verschil met de echte waarde van PI is kleiner dan 1/2^(398), een onvoorstelbaar klein getal, waarvan de decimale voorstelling begint met 120 nullen na de komma. (Ter vergelijking: de benadering 3,14 heeft een fout die kleiner is dan 0,01, en dat getal heeft één enkele nul na de komma.)

Deze voorstelling van PI bevat niets dat specifiek is voor de menselijke soort. Intelligente wezens die wiskunde ontwikkeld hebben zullen weten dat twee cijfers volstaan voor rekenkunde, en zullen allicht concluderen dat een leeg (wit) vierkant het kleinste van die twee cijfers voorstelt.

Meer technische uitleg hier.