In 1968 bewezen Ringel and Youngs het z.g. Vermoeden van Heawood (zie hier), en als bijzonder geval volgt daaruit dat zeven kleuren nodig en voldoende zijn om elke kaart op een ringoppervlak (torus) in te kleuren. Opus X "toont" (in abstracte zin) een torus met daarop een kaart waarvoor inderdaad zeven kleuren nodig zijn.
De vlakke afbeelding is een vierkant, waarbij aan elke zijde lipjes en uitsparingen zijn aangebracht die suggereren hoe men dit vierkant door twee keer te plooien tot een torus zou kunnen omvormen. Met een rechthoek uit stijf materiaal (papier, bijvoorbeeld) zal dat nooit lukken. Om dat in te zien bekijken we de onderstaande rechthoek, met blauwe en groene zijden en een rode as van symmetrie. Door de blauwe zijden naar achteren om te plooien en samen te voegen ontstaat een open cilinder met een rode en een blauwe evenaar, en twee groene cirkels in de zijvlakken.
Van bovenaf bekeken zien we die open cilinder als een rechthoek met een blauwe en een rode lange zijde, en korte groene zijden (onderaan links):
Proberen we nu de groene zijvlakken samen te voegen tot een ring (die we eveneens van bovenaf bekijken, bovenstaande figuur rechts), dan blijkt snel dat dit intrinsiek onmogelijk is: de blauwe evenaar moet ingedrukt worden en de rode evenaar uitgerekt. De praktische uitvoering van die bewerking vereist dus elastisch materiaal, en dat is hier volkomen ad rem, want de eigenschap die we hier bekijken is topologisch van aard, en wordt topologie niet omschreven als meetkunde op rubber? De eigenschap geldt namelijk niet alleen voor een torus, maar voor gelijk welk oppervlak met juist één gat.
Opus X is dus niets méér dan een wiskundige suggestie ter attentie van Marsbewoners en andere intelligente wezens, om toe te lichten hoe de driedimensionale versie in het echt eruit ziet. Hieronder een 3D- animatie, van het internet geplukt.
In de tussenfase hieronder getoond
valt op hoe moeilijk het is, te aanvaarden dat de gele parallellogrammen vertikaal gealigneerd zijn, allebei in het middelste derde van het doek. Eveneens ontstaat de indruk dat het groene parallellogram breder is dan zijn rode of oranje buren.
Als de torus eenmaal toegerold is, sluiten de twee stukken geel aaneen tot één groot geel stuk, en evenzo de twee stukken paars, de twee stukken zwart en de drie stukken blauw. Dat ziet men gemakkelijk in als men een copie van het vierkant tegen de vier zijden aanplakt, want dan ziet men de afgesneden stukken gewoon doorlopen:
De verdeling is zo gekozen dat elke kleur in de vlakke figuur dezelfde oppervlakte krijgt, een eigenschap die in de rubberen uitvoering uiteraard verloren gaat door de vervormingen.
Als we uitgaan van een vierkant met zijde 1, dan krijgt elke kleur dus 1/7 van de oppervlakte. De volledige parallellogrammen (oranje, rood, groen) hebben een zijde van 1/3 en dus een hoogte van 3/7. Hieruit volgen de hoogten van geel: 1/7 onderaan, 2/7 bovenaan. Hieruit op zijn beurt de hoogten van blauw: 2/7 onderaan, 1/7 bovenaan. Purper en zwart verdelen dan onder elkaar de overblijvende hoogte van 6/7.
De concrete uitvoering:
*
