(vervolg van deel 1)
Het principe
Bijna alle meetkundige aspecten van de regenboog kunnen verklaard worden door een zeer eenvoudig model: de breking en terugkaatsing van zonnelicht in een bolvormige regendruppel. Wij bekijken een druppel met straal 1, waarop een lichtstraal invalt van links af, evenwijdig met de x-as, op een afstand h boven de x-as. We beperken ons tot 0<h<1, en beelden de symmetrische straal, die invalt langs de rechte y=-h, niet af. Die tweede straal verlaat de regendruppel onder dezelfde hoek als de eerste, alleen met een ander teken (dus opwaarts als de eerste neerwaarts gericht is, of omgekeerd). De ruimtelijke configuratie, bestaande uit de druppel (die geen cirkel maar een bol is) en een bundel invallend licht, is symmetrisch om de x-as.
Een gedeelte van de lichtstralen verlaat de druppel niet in U, maar wordt een tweede keer teruggekaatst, eventueel een derde keer enzovoort. Gebeuren er k terugkaatsingen, dan ondergaat de invallende straal een totale richtingsverandering Δ = 2(i-r)+k(𝜋-2r). De figuur heeft ook nu een as van symmetrie. Is k oneven, dan is die as de middellijn door het middelste van de punten waar terugkaatsing gebeurt (b.v. T3 als de terugkaatsingen zijn in T1, T2, T3, T4, T5). Is k even, dan is de symmetrie-as de middelloodlijn op het lijnstuk bepaald door het eerste en het laatste punt van terugkaatsing (b.v., de middelloodlijn op T1T6 als de terugkaatsingen zijn in T1, T2, T3, T4, T5, T6).
Als een waarnemer kijkt naar het tegenpunt van de zon (m.a.w., de schaduw van zijn eigen hoofd), dan neemt hij de teruggekaatste zonnestraal waar onder een hoek met grootte 𝜋-Δ. De invallende zonnestralen treffen de druppel onder alle mogelijke waarden van 0<h<1, en de waarnemer ontvangt dus ook teruggekaatste stralen die alle mogelijke hoeken vormen. In de stationaire punten van de functie Δ(h) (waar de afgeleide nul is) verandert de functiewaarde het traagst, m.a.w., de hoeken zijn voor iets kleinere en iets grotere waarden van h bijna dezelfde, zodat de teruggekaatste stralen ongeveer evenwijdig zijn. Uit richtingen die overeenkomen met die waarden van h ontvangt de waarnemer dus licht van de grootste intensiteit. In het geval van een rode lichtstraal ziet hij dus een rode cirkel die overeenkomt met een kegelmantel waarvan de top in zijn oog ligt en waarvan de halve openingshoek een grootte 𝜋-Δ heeft. Die rode cirkel, uiteraard beperkt door het terrein en de horizon, vormt samen met de andere kleurcirkels de regenboog. Voor elke waarde van k (het aantal terugkaatsingen) ontstaat in principe een regenboog maar door de afnemende lichtsterkte zijn doorgaans alleen de eerste en tweede duidelijk zichtbaar voor de niet-voorbereide waarnemer.
Het zichtbaar deel van de kegelmantel voor de eerste regenboog.
(W= waarnemer, T= tegenpunt van de zon). [Minnaert fig.119]
Het ontstaan van de eerste en de tweede regenboog. [Minnaert fig.126]
Het rekenwerk
Het komt er dus op aan de stationaire punten te vinden van K(h)= 𝜋-2(i-r)-k(𝜋-2r) als functie van h. (De tweede afgeleide moet niet onderzocht worden, want de redenering is evengoed geldig voor buigpunten met horizontale raaklijn als voor extrema.)
De tabel hieronder bevat voor de eerste zeven regenbogen de richting waarin men het rood en het violet waarneemt (uitgedrukt in graden, in tegenwijzerzin gemeten vanaf het tegenpunt van de zon), evenals de bijhorende waarde van h. Negatieve hoeken zijn van teken veranderd; dit betekent eigenlijk dat we de straal die invalt langs de rechte y=h vervangen door de symmetrisch gelegen straal langs y=-h. Voorts is 360° bijgeteld of afgetrokken om hoeken te krijgen tussen 0 en 180°. Een hoek groter dan 90° betekent dat de regenboog achter het hoofd van de waarnemer, dus in de richting van de zon, gevormd is. (Dit gebeurt uiteraard in regendruppels die zich tussen de zon en de waarnemer bevinden, niet in de regenwolken waar de waarnemer doorgaans naar kijkt, met de zon in de rug.)
De brekingsindex is voor rood N=1,3318 en voor violet N=1,3435. De berekende waarde voor K(h) is dus kleiner voor het violet dan voor het rood. Als 0< K(h)<90° dan vindt men aan de hemel het rood dus hoger dan het violet; dat is het geval voor k=1. Voor 90°<K(h)<180° betekent een grotere hoek natuurlijk een lagere positie aan de hemel.
Hieronder de eerste zeven regenbogen voorgesteld aan het uitspansel (W= waarnemer, TZ= tegenpunt van de zon), met voor elk het rood en het violet aangegeven. De vijfde regenboog is wat 'ingekort' afgebeeld omdat hij gedeeltelijk binnen de tweede valt.
Behalve 1-2, die voor iedere ongeoefend oog zichtbaar zijn, zijn ook 3-4-5 fotografisch vastgelegd. Voor regenboog 6 wordt de kans op waarneming niet groot geacht, maar nummer 7 kan misschien ooit gevonden worden op foto's die op gepaste wijze bewerkt worden. (Zie hier.)
Literatuur
De literatuur over regenbogen is zeer uitgebreid. Wij vermelden enkel
M. Minnaert, De natuurkunde van 't vrije veld, deel 1, 1937 (hier)
H. Moysés Nussenzveig, The Theory of the Rainbow, Scientific American 236 (April 1977), pp. 116-128 (hier)
John A. Adam, The mathematical physics of rainbows and glories, Physics Reports 356 (2002), pp. 229-365 (hier)
(vervolgt in deel 3)
