Artistieke wiskunde: opus V — het veelvlak van Szilassi

Literatuur:

[C] Ákos Császár, A Polyhedron without Diagonals, Acta Sci. Math. Universitatis Szegediensis 13, (1949-50), 140-142 (hier)

[G] Martin Gardner, Mathematical games — In which a mathematical aesthetic is applied to modern minimal art, Scientific American 239 no 5 (november 1978), 20-24 (hier)

[L1] Lajos Szilassi, On some regular toroids

[L2] Lajos Szilassi,  Regular Toroids, Structural Topology 13 (1986) (hier)

*

Volgens de editor van Acta Scientiarum Mathematicarum (hier) begint het verhaal van het veelvlak van Császár met een wedstrijd voor studenten, in 1948. De opgave luidde: bewijs dat het viervlak het enige veelvlak is zonder diagonalen, m.a.w., waarin elke twee hoekpunten verbonden zijn door een ribbe. Deze formulering is enkel geldig voor convexe veelvlakken, want in 1949 maakte Császár in [C] het bestaan bekend van een niet-convex 14-vlak met 7 hoekpunten en 21 ribben, zonder diagonalen.

In [L1] deelt Szilassi mee dat hij in 1977 het topologisch duaal van het Császár-veelvlak onderzocht, een 7-vlak met 14 hoekpunten en 21 ribben. Met behulp van een computer werd dit duale veelvlak uiteindelijk herleid tot een 7-vlak waarvan de zijvlakken eenvoudige zeshoeken zijn, namelijk 3 stellen van 2 congruente (niet-convex) en 1 convexe. In 1978 kon men in [G] een perspectiefzicht van het veelvlak aantreffen:

alsook de zeven zijvlakken:

In [L2] geeft Szilassi zelf de zijvlakken, genummerd 1-6, als volgt:

(in de linkse figuur zijn de zijden onbedoeld enigszins vervormd weergegeven) en in het perspectief geeft hij bij elk hoekpunt de nummers van de drie zijvlakken die er samenkomen:

Men vindt dan natuurlijk zelf bij elke ribbe de nummers van de zijvlakken waar die ribbe de snijlijn van is. Bovenaan b.v. zijn de hoekpunten 615 en 162 verbonden door de ribbe 16, snijlijn van de zijvlakken 1 en 6. Bovendien bevat [L2] ook alle maten van elk zijvlak afzonderlijk:

M.b.v. deze maten kan men de zijvlakken perfect construeren, zoals in de figuur hieronder die getekend is met GeoGebra. Om de symmetrie te benadrukken heb ik de zijvlakken die bij Szilassi 3,4 en 7 heten anders geschikt (hieronder rechts). De linkse figuur vertoonde al vier horizontale lijnstukken (aangegeven met horizontale lijntjes) en dat is nu rechts eveneens het geval. Beide figuren heb ik vertikaal gealigneerd, en dan de rechtse figuur zo verschoven dat het geheel perfect in een vierkant past. Beide figuren hebben een punt van symmetrie (aangegeven) en de congruente zijvlakken zijn ingekleurd met complementaire kleuren: rood-groen, blauw-oranje, paars-geel. (Opmerking: de hoek linksonder, waar blauw en rood samenkomen, is kleiner dan 90°, zodat er geen verticale lijnstukken zijn.)

In deze kleuren uitgevoerd ziet het perspectiefzicht er als volgt uit:

Men kan nog net vier van de zijvlakken zien. Tot de onzichtbare zijvlakken behoort het zwarte zijvlak (een rechthoek met twee hoeken afgeknipt); het ligt horizontaal en dient als plafond van de holte. Het lijkt ons iets meer voor de hand te liggen de figuur op zijn kop te zetten, zodat men bovenop het zwarte zijvlak kijkt. Dit zijvlak—het regelmatigste van de zeven, met twee rechte hoeken—dient dan als 'grondvlak' van de holte en van de hele figuur. De symmetrieas loopt verticaal. Aan de eigenschap van het Császárveelvlak (elke twee hoekpunten zijn verbonden door een ribbe) beantwoordt bij Szilassi de duale eigenschap: elke twee zijvlakken hebben een ribbe gemeen. Die eigenschap bezit ook het viervlak, dat immers zijn eigen duaal is.

Materiële uitvoering

Geogebra levert van de zijvlakken, getekend volgens de maten die Szilassi geeft, ook de hoekpunten met coördinaten zo precies als men wil. Ik heb die coördinaten op de millimeter afgerond, overgebracht op millimeterpapier en dan met een naald doorgedrukt op zwaar tekenpapier van de juiste kleur. Hieronder de zijvlakken uitgeknipt en met doorzichtige tape verbonden, een geheel van 35 cm hoog. De achterzijden hebben dezelfde kleur als de voorzijden, maar ik heb er stippen opgezet om de beide kanten te kunnen onderscheiden.

De vier zijvlakken links worden als volgt ruimtelijk gemonteerd:

de bovenste twee (groen en oranje) worden overeind gezet, de onderste twee (rood en blauw) naar achteren geklapt; groen wordt aan blauw vastgeplakt en rood aan oranje. Men krijgt op die manier een open viervlak dat rust op het blauwe zijvlak.

Met de drie zijvlakken rechts gaat het als volgt:

het rode en het gele zijvlak worden overeind gezet en dan aaneengeplakt. (Van beide ziet men nu de onderkant, met de stippen.) Er ontstaat een vreemd open drievlak met twee zijvlakken die buitenmatig lang en dun zijn.

Het rechtse drievlak, zo vastgehouden dat het zwarte vlak het 'plafond' van de holte links moet worden, kan perfect in die holte geschoven worden, met het gele zijvlak als eerste.

Hieronder, ter vergelijking, het perspectiefzicht volgens Geogebra en zijn materiële uitvoering in aaneengeplakt tekenpapier. (Door de schaduwen wordt het gele tekenpapier groenachtig weergegeven, en het oranje bruinachtig.)

Op zijn kop gezet, met de zwarte zeshoek als 'grondvlak':

Acryl op canvas

Het opengeklapte Szilassiveelvlak, met acrylstiften in zeven kleuren op een canvasplaat van 60 op 60 cm:

Omheen de eigenlijke figuren is een rand van 1 cm breed aangebracht, waarin de kleur getoond wordt van de aangrenzende zijvlakken. Elk zijvlak is dus omringd door de kleuren van de zes zijvlakken waarmee het een ribbe gemeen heeft.

De resulterende figuur, hoewel uiteraard helemaal 'abstract', heeft een vreemde expressiviteit. Ikzelf zie links een Afrikaans tovenaarsmasker met open mond, en rechts de weergave van een vervloeking die uit die mond komt. (In stripverhalen zijn bliksemachtige vormen, zoals de rechtse figuur is, geliefd bij krachttermen.)