Artistieke wiskunde: opus II — Goldbach in 4 kleuren

In dit project wordt het (alsnog onbewezen) vermoeden van Goldbach geïllustreerd: elk even getal vanaf 4 is de som van 2 priemgetallen. Sommige getallen hebben meer dan 1 dergelijke ontbinding, b.v. 10=3+7=5+5. In die gevallen heb ik gekozen voor de eerste ontbinding die men door systematisch proberen zou vinden, d.w.z. die met de kleinste eerste term: 10=3+7, dus. De eerste term is dus systematisch 'klein', en de tweede relatief 'groot'; bovendien hebben twee opeenvolgende even getallen vaak de eerste of de tweede term in die ontbinding gemeenschappelijk. Dit maakt de meeste ontwerpen nogal saai, met lange 'strepen' van aaneengrenzende gelijkgekleurde vierkanten. Bovendien ontstaan vanzelf driehoekige vormen die overdreven veel van het canvas wit laten. Deze visuele nadelen bleven bestaan ook als ik de oneven getallen mee in de voorstelling betrok. Als het vermoeden van Goldbach waar is, dan is elk oneven getal vanaf 7 de som van drie priemgetallen waaronder zeker 3 voorkomt. (Inderdaad, als dat getal N is, dan is N-3 een even getal dat minstens 4 is, en waarop dus Goldbach van toepassing is.) De afwisseling even/oneven zorgt wel voor wat extra variatie, want de ontbinding bevat afwisselend 2 en 3 priemgetallen, maar ook hier bleef het canvas slecht 'gevuld'. 

Uiteindelijk is het volgende ontwerp uitgevoerd.

Centraal blijven twee vierkantjes ongekleurd, voorstellende het even getal 2 waarop Goldbach niet van toepassing is. Alle grotere even getallen t.e.m. 26 zijn voorgesteld als 'winkelhaken' geschikt omheen de witte rechthoek, en elk van die getallen bestaat uit twee stukken van een verschillend kleur, aan elkaar gezet met een verbindingsstukje 'van het een in het ander' zoals dat in de heraldiek heet. De kleinste winkelhaak bestaat uit de paarse rechthoek links van 2 en de zwarte rechthoek onder 2. Die winkelhaak is de voorstelling van de Goldbachpartitie 4=2+2. De volgende winkelhaak bestaat uit groen rechts van 2, en blauw boven 2, en stelt voor: 6=3+3. Daarop volgt 8=3 (zwart)+5(blauw) enzovoort. De grootste winkelhaak bestaat uit groen (bovenaan en rechts) + blauw (rechtsonder), zijnde 26=3+23.

Ik heb maar vier kleuren gebruikt, wat niet helemaal triviaal is maar hier toch relatief gemakkelijk. De primaire kleuren rood, geel en blauw heb ik vermeden omdat daarmee, in combinatie met zwart en wit, in de figuur vlaggen van Europese landen ontstaan die onverantwoorde aandacht trekken. De huidige nogal donkere configuratie heeft bovendien het voordeel dat een soort diepteperspectief opgeroepen wordt met in de verte een lichtgevend vlak.