De wiskunde
In 1978 ontdekte de Nederlandse wiskundige Arie Duijvestijn het volgende:
De 21 vierkanten met zijden van respectievelijk 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50 eenheden lengte kunnen samengevoegd wordt tot 1 enkel vierkant met een zijde van 112 eenheden.
In feite heeft niet Duijvestijn zelf dit ontdekt, maar wel de computer die hij op 22 maart 1978 aan het werk had gezet: de DEC-10 van de Technische Universiteit Twente. De vondst van Duijvestijn behoort tot de klasse van wiskundige resultaten waarvan het vinden moeilijk is, maar de verificatie, met het resultaat voor ogen, kinderspel (hier het origineel):
In de benaming 'simpel perfect vierkant' betekent 'simpel': alle samenstellende vierkantjes zijn verschillend van afmeting, en 'perfect': de samenstellende vierkanten vormen nergens een rechthoek of een vierkant, behalve dan het finale grote vierkant.
De 21 afzonderlijke vierkantjes goed dooreengeschud in een doos zouden nog een aardige puzzel opleveren! Zo liggen de grootste zeven vierkanten, in dalende volgorde 50, 42, 37, 35, 33, 29, 27 alle aan de rand, maar dat is niet geval voor het achtste, 25, maar wel voor het negende, 24.
Op het internet circuleren vele ingekleurde versies van het bovenstaande vierkant. Daartussen zijn er ook die maar 4 kleuren gebruiken, iets waar men door experimenteren met die bepaalde configuratie ook vanzelf kan op uitkomen. Dat voor gelijk welke 'landkaart' 4 kleuren volstaan is op zich een beroemde stelling, die het jaar vóór het vierkant van Duijvestijn gepubliceerd werd, na meer dan een eeuw een 'vermoeden' geweest te zijn. Het bewijs van de stelling
beslaat 139 bladzijden en kan men hier nalezen. Een groot aantal bladzijden is ingenomen door afzonderlijke configuraties want 1476 van de oneindig vele gevallen moesten afzonderlijk bekeken worden, en daarvoor werden drie computers ingeschakeld.
Combinerend komt men tot een 'kunstwerk' met de korte titel
maar daarachter gaan dus vier mensen en vier computers schuil. Voor 'het vierkant': Duijvestijn plus de DEC-10, voor 'de vier kleuren': Appel, Haken en de programmeur Koch plus de IBM 360-75, IBM 370-158 en IBM 370-168. De computers krijgen de erkenning die zij verdienen, en worden door de auteurs expliciet vermeld (Duijvestijn p. 240, Appel-Haken-Koch p. 491).
In de benaming 'simpel perfect vierkant' betekent 'simpel': alle samenstellende vierkantjes zijn verschillend van afmeting, en 'perfect': de samenstellende vierkanten vormen nergens een rechthoek of een vierkant, behalve dan het finale grote vierkant.
De 21 afzonderlijke vierkantjes goed dooreengeschud in een doos zouden nog een aardige puzzel opleveren! Zo liggen de grootste zeven vierkanten, in dalende volgorde 50, 42, 37, 35, 33, 29, 27 alle aan de rand, maar dat is niet geval voor het achtste, 25, maar wel voor het negende, 24.
Op het internet circuleren vele ingekleurde versies van het bovenstaande vierkant. Daartussen zijn er ook die maar 4 kleuren gebruiken, iets waar men door experimenteren met die bepaalde configuratie ook vanzelf kan op uitkomen. Dat voor gelijk welke 'landkaart' 4 kleuren volstaan is op zich een beroemde stelling, die het jaar vóór het vierkant van Duijvestijn gepubliceerd werd, na meer dan een eeuw een 'vermoeden' geweest te zijn. Het bewijs van de stelling
Every planar map is four colorable
beslaat 139 bladzijden en kan men hier nalezen. Een groot aantal bladzijden is ingenomen door afzonderlijke configuraties want 1476 van de oneindig vele gevallen moesten afzonderlijk bekeken worden, en daarvoor werden drie computers ingeschakeld.
Combinerend komt men tot een 'kunstwerk' met de korte titel
21 vierkantjes in 4 kleuren
maar daarachter gaan dus vier mensen en vier computers schuil. Voor 'het vierkant': Duijvestijn plus de DEC-10, voor 'de vier kleuren': Appel, Haken en de programmeur Koch plus de IBM 360-75, IBM 370-158 en IBM 370-168. De computers krijgen de erkenning die zij verdienen, en worden door de auteurs expliciet vermeld (Duijvestijn p. 240, Appel-Haken-Koch p. 491).
De 'kunst'
Voor de 'vier kleuren' vind ik voor de hand liggen: de drie primaire kleuren (rood, geel, blauw) en een niet-kleur (wit of zwart). Als de achtergrond wit is moet de vierde kleur dus zwart zijn. Ik vond dat er een grote dynamiek ontstond als het gekleurde vierkant 45° gedraaid werd binnen een statisch groter vierkant. Hier een schermafdruk van de figuur die ik in GeoGebra getekend had.
Op 23 maart 2019 postte ik die foto op Facebook, met de mededeling "Vanmiddag koop ik papier en plakkaatverf in een poging om dit kunstwerk te materialiseren". Op 5 april was het zover, en met een triomfantelijk "Ta-taa!" kon ik mijn opus geëtaleerd op een stoel laten zien:
Het is uiteindelijk geen "plakkaatverf op papier" geworden, maar "acrylverf op canvas paneel". Hieronder wat uitleg over de opeenvolgende stappen.
1. een vel Canson millimeterpapier van 45x60 cm. Daarop tekende ik de configuratie van Duijvestijn met 1 eenheid= 3mm, zodat het grote vierkant dus een zijde van 336 mm heeft. (De stalen rolmeter en de tekenlat met stalen rand heb ik niet gebruikt om te meten. Ik heb ontdekt dat zij beide afwijken van het millimeterpapier, 1 mm op 50 cm.)
2. een Peacock "canvas panel" van 60x60 cm. Zo'n paneel vraagt geen enkele voorbereiding, en is verpakt in krimpfolie. Dat is natuurlijk geen perfect vierkant (speling van ongeveer 1 mm op de zijden), maar ik heb zo goed mogelijk op de folie met een stift Stabilo OHPen S de middens van de zijden verbonden. De figuur op het millimeterpapier heb ik met de verlengde diagonalen zo goed mogelijk gealigneerd op de folie geplakt.
3. De hoekpunten van alle vierkanten heb ik met een naald door de folie in het canvas geprikt. Om te beletten dat ik 1 vergat zette ik een cirkeltje rond elk hoekpunt dat aan de beurt was geweest. M.b.v. de gaatjes heb ik op het canvas de complete configuratie getekend met een zwarte stift Uniball Eye Micro.
4. Voor het inkleuren heb ik POSCA bullet shaped acrylstiften gekocht: red, yellow, blue, black. Ze bestaan in drie grootten, en ik heb de middensoort gebruikt (PC-5M), voor het rood aangevuld met de fijne soort (PC-3M) omdat het kleinste vierkantje, 6 op 6 mm, in het rood moest. Voor het blauw had ik aan 1 stift niet genoeg, en ik heb halverwege het grootste vierkant een extra stift moeten kopen. Het verven met die stiften gaat probleemloos. Het geel kwam het laatst aan de beurt. Op mijn proefpaneeltje vond ik het geel van POSCA te veel 'oker' en te weinig 'citroen'. Om die reden heb ik het geel ingekleurd met een doodgewone fluostift, nl. BIC Marking Hightligher XL. Het uitsmeren ging vlotter dan met acrylverf, maar helaas bleken twee gele vakjes achteraf enkele storende stippen te bevatten van een grijs-groenachtige kleur. Omdat gewone fluostift bij definitie transparant is helpt hier geen overschilderen aan, en ik heb uiteindelijk voor het retoucheren een extra tube acrylverf gekocht: System 3 acrylic, fluorescent yellow 27. (Bestaat helaas niet in stiften.) In de winkel was mij gegarandeerd dat dit 'dekt' als men verschillende lagen aanbrengt, maar dat viel wat tegen. Bovendien ligt op die twee vierkanten de verf nu duidelijk dikker en ongelijker dan op de andere vierkanten. Hieronder mijn materiaal en een detailzicht op de twee dubieuze gele vierkantjes, die wat geler zijn dan de fluo-collega's.
Het materiaal heb ik gekocht in Onderbergen Gent, gedeeltelijk bij Schleiper en gedeeltelijk aan de overkant bij ex-Lesaffre, nu Lucas Creativ. Als ik het opnieuw zou doen zou ik zeker geen fluostift meer gebruiken, maar dekkend acryl, en ik zou per kleur stiften in 3 grootten met blokvormige punten kopen. Ik zou ook uit de stapel 'vierkante' canvas panelen het meest vierkante uitkiezen.
Het is mogelijk om deze configuratie op een essentieel andere manier met vier kleuren in te vullen, zo b.v.
1. een vel Canson millimeterpapier van 45x60 cm. Daarop tekende ik de configuratie van Duijvestijn met 1 eenheid= 3mm, zodat het grote vierkant dus een zijde van 336 mm heeft. (De stalen rolmeter en de tekenlat met stalen rand heb ik niet gebruikt om te meten. Ik heb ontdekt dat zij beide afwijken van het millimeterpapier, 1 mm op 50 cm.)
2. een Peacock "canvas panel" van 60x60 cm. Zo'n paneel vraagt geen enkele voorbereiding, en is verpakt in krimpfolie. Dat is natuurlijk geen perfect vierkant (speling van ongeveer 1 mm op de zijden), maar ik heb zo goed mogelijk op de folie met een stift Stabilo OHPen S de middens van de zijden verbonden. De figuur op het millimeterpapier heb ik met de verlengde diagonalen zo goed mogelijk gealigneerd op de folie geplakt.
3. De hoekpunten van alle vierkanten heb ik met een naald door de folie in het canvas geprikt. Om te beletten dat ik 1 vergat zette ik een cirkeltje rond elk hoekpunt dat aan de beurt was geweest. M.b.v. de gaatjes heb ik op het canvas de complete configuratie getekend met een zwarte stift Uniball Eye Micro.
4. Voor het inkleuren heb ik POSCA bullet shaped acrylstiften gekocht: red, yellow, blue, black. Ze bestaan in drie grootten, en ik heb de middensoort gebruikt (PC-5M), voor het rood aangevuld met de fijne soort (PC-3M) omdat het kleinste vierkantje, 6 op 6 mm, in het rood moest. Voor het blauw had ik aan 1 stift niet genoeg, en ik heb halverwege het grootste vierkant een extra stift moeten kopen. Het verven met die stiften gaat probleemloos. Het geel kwam het laatst aan de beurt. Op mijn proefpaneeltje vond ik het geel van POSCA te veel 'oker' en te weinig 'citroen'. Om die reden heb ik het geel ingekleurd met een doodgewone fluostift, nl. BIC Marking Hightligher XL. Het uitsmeren ging vlotter dan met acrylverf, maar helaas bleken twee gele vakjes achteraf enkele storende stippen te bevatten van een grijs-groenachtige kleur. Omdat gewone fluostift bij definitie transparant is helpt hier geen overschilderen aan, en ik heb uiteindelijk voor het retoucheren een extra tube acrylverf gekocht: System 3 acrylic, fluorescent yellow 27. (Bestaat helaas niet in stiften.) In de winkel was mij gegarandeerd dat dit 'dekt' als men verschillende lagen aanbrengt, maar dat viel wat tegen. Bovendien ligt op die twee vierkanten de verf nu duidelijk dikker en ongelijker dan op de andere vierkanten. Hieronder mijn materiaal en een detailzicht op de twee dubieuze gele vierkantjes, die wat geler zijn dan de fluo-collega's.
Het materiaal heb ik gekocht in Onderbergen Gent, gedeeltelijk bij Schleiper en gedeeltelijk aan de overkant bij ex-Lesaffre, nu Lucas Creativ. Als ik het opnieuw zou doen zou ik zeker geen fluostift meer gebruiken, maar dekkend acryl, en ik zou per kleur stiften in 3 grootten met blokvormige punten kopen. Ik zou ook uit de stapel 'vierkante' canvas panelen het meest vierkante uitkiezen.
*
Het is mogelijk om deze configuratie op een essentieel andere manier met vier kleuren in te vullen, zo b.v.
