In deze aflevering verlaten wij de wiskunde en betreden schoorvoetend het terrein van de Kunsten. Bij Marcus du Sautoy, The music of the primes (2003, hier blz.27) lezen we
It [the golden ratio] encapsulates what many people down the centuries have regarded as perfect proportions. If you examine the canvases in the Louvre or the Tate Gallery, you'll find that very often the artist will have chosen a rectangle whose sides are in a ratio of 1 to 1,61803...Tu quoque, Marce! Deze gereputeerde Oxford-professor wiskunde vertelt hier gewoon door wat iedereen 'weet', en wat iedereen wel ergens gelezen of gehoord heeft. Helaas is deze 'common knowledge' niet waar, en dat zullen wij hieronder aantonen. Bovendien heeft Marcus uit het overvloedige aanbod van quatsch de slechtst mogelijke keuze gemaakt, want al in de negentiende eeuw moest Fechner (een van de twee vaders van de gulden mythe) uit meer dan tienduizend schilderijen besluiten dat de gulden snede geen enkele voorkeur geniet qua verhouding. (Albert van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras, tweede druk, 1999, p.263)
Onder de vele goed-gedocumenteerde kritische bronnen kiezen wij de volgende drie, omdat zij elk afgaan op eigen primair onderzoek.
- [SB] = H. Schiffmann and D. Bobko, Preference in linear partitioning: the golden section reexamined, Perception and Psychophysics, 24, No 1, 1978 (hier)
- [M] = G. Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio, The college mathematics journal, 23, No 1, 1992 (hier)
- [PM] = J. Putz and C. Morjan, Preference for the golden rectangle: a student/faculty research project, PRIMUS: problems, resources and issues in mathematics, XI, No 4, 2001 (hier)
Het waarnemen van getallen
In deze aflevering van de Gulden Saga noteren we
φ = (√5-1)/2 = 0,61803...
De vorige afleveringen gingen over wiskunde, maar dit keer dalen wij af in de echte wereld, want wij zullen het hebben over de esthetische smaak van 'de mensen'. Dit houdt in dat er experimenten gebeuren waaruit testresultaten voortkomen die statistisch verwerkt moeten worden. Getoetst wordt de hypothese dat het getal φ een bepaalde waarneembare eigenschap heeft. Bewijzen dat die hypothese waar is is eigenlijk onmogelijk. Elk fysiek experiment gebeurt immers met een bepaalde beperkte precisie, en resulteert dus niet in het is dit getal maar in het ligt tussen dit en dat getal. Onderstel eens dat een bepaald experiment oplevert: het ligt tussen 0,58 en 0,66 (dat zijn de tolerantiegrenzen die in [MJ] aanvaard worden voor φ). Wat dan nog? Als ik een π-mysticus was i.p.v. een φ-mysticus, dan zou ik het experiment triomfantelijk inroepen als bewijs dat hier 2/π 'gevonden' is. Dat getal is immers 0,6366... en ligt dus binnen de waarnemingen. Bovendien, 2/π komt veel vaker in de wiskunde voor dan φ, en heeft nog een 'echte' fysieke betekenis ook: het zwaartepunt van een halve cirkel met straal 1 ligt op die afstand van het middelpunt! Ik zou aan mijn π-geloof pas beginnen twijfelen als een nieuw experiment zou aantonen dat het resultaat tussen 0,617 en 0,619 ligt, en dan nog! Zelfs bewijzen dat iets meetbaars nul is is eigenlijk onmogelijk. Gelukkig voor ons kan men wel experimenteel aantonen dat iets niet φ is. Het volstaat dat de experimenten resulteren in: het ligt tussen dit en dat getal, en dat φ niét tussen die getallen ligt.
Het is niet φ
De pseudo-wetenschappelijke basis voor de gulden mythe is in Duitsland gelegd, in de 19de eeuw, door Fechner en Zeising. [PM] geeft een goede analyse van de methodologische fouten die door hen en hun navolgers begaan zijn. Daarop aansluitend wordt in [PM], zeer nauwkeurig, het nieuwe experiment beschreven waarbij die methodologische fouten vermeden worden. De 72 proefpersonen konden met muis en computer de rechthoek tekenen die zij het mooist vonden. De verhouding tussen lengte en breedte van de uitverkoren rechthoeken leverde het volgende histogram op:
- tussen 0,625 en 0,675
- tussen 0,825 en 0,875
- tussen 0,950 en 1,000
De waarde 1 komt overeen met een vierkant, wat toegelaten was en overigens mijn keuze geweest zou zijn. Geen van de intervallen bevat 0,618... , en de conclusie is dan ook [PM, p.378]:
The results of this experiment do not support the golden section hypothesis.
Om het eens populistisch te stellen: 'de mensen' verkiezen rechthoeken die minder 'plat' zijn dan de z.g. 'gulden' rechthoek. Wie foto's maakt met een smartphone bevestigt dat dagelijks: het formaat is 2/3, wat groter dan φ is. Voor eenvoudige verhoudingen als 2/3 heeft het menselijk brein wél een voorkeur. Wie in die verhouding een snaar verdeelt kan een reine kwint laten klinken!
Het is ongeveer φ, maar dat betekent niets
In teksten van golden numerologists ontmoet men vaak de bewering dat iets 'ongeveer de gulden snede' is. Dat is juist, want men kan de tolerantiegrenzen altijd zo rekken dat een bepaald getal erbinnen valt. In die zin kan men dus, zonder te liegen, beweren dat een bepaald resultaat, dat tussen 0,5 en 0,7 blijkt te liggen, 'bij benadering' een waarneming van de gulden snede is. Dat is o.m. gebeurd bij een onderzoek (Svensson, geciteerd in [SB]) dat dit interval oplevert, met een gemiddelde van 0,633. Wow! Dat is ei zo na mijn 2/π!
De grafische tegenhanger hiervan is, dat men op een figuur de gulden snede aanbrengt met voldoende dikke lijnen. Klopt ook altijd (vooral als de figuur maar 'in grote lijnen' erin past) en betekent absoluut niets. Elk kunstwerk krioelt van verhoudingen die ongeveer 2/3 (en dus ook ongeveer φ) zijn.
Andere experimenten
Er zijn methodologische bezwaren in te brengen tegen experimenten waarbij proefpersonen moeten kiezen uit een aantal rechthoeken die hun voorgelegd worden. De keuze is beperkt, de lievelingsrechthoek zit er misschien niet tussen, de volgorde van presenteren kan een rol spelen enzovoort. In elk geval, [M, p.15] komt ook bij dit soort experimenten tot de conclusie
The various claims about the esthetic importance of the golden ratio seem to be without foundation.
Hij stelde ook vast dat de meeste mensen geen verschil zien tussen rechthoeken waarvan de verhoudingen maar weinig verschillen, en dat zij niet in staat zijn de 'gulden' exemplaren eruit te pikken. Bij hem werd het meest gekozen de rechthoek met de totaal banale verhouding 0.546! Samen met de drie van [PM] zitten we daarmee al aan vier 'lievelingsrechthoeken'. Misschien is het gewoon zo dat er geen universeel-menselijke smaak voor rechthoeken bestaat noch ooit bestaan heeft. Voor lijnstukken lijkt dat in elk geval zo te zijn. Er is nochtans a priori meer reden om 'iets' te verwachten voor lijnstukken dan voor rechthoeken. Als men een lijnstuk verdeelt door er een punt op te plaatsen ziet men de drie ingrediënten van de gulden snede (het kleinste stuk, het grootste stuk en het oorspronkelijke lijnstuk) ook echt staan, netjes op een rij. (Bij een rechthoek ziet men er maar twee, haaks op elkaar.) Jammer voor de mythe, maar helaas! De experimenten met lijnstukken leveren op [SB, p. 102]
The results do not demonstrate a preference for the golden section or a preference for any other ratio.We mogen stilaan afronden, denk ik. Men zegge het voort:
het menselijk brein heeft geen voorkeur voor de gulden snede.
Dit betekent niet dat men de gulden snede niet echt kan aantreffen in producten van de menselijke geest. De architect Le Corbusier, bijvoorbeeld, heeft haar (onder invloed van Matila Ghyka en diens gratuite beweringen) als maatstaf gebruikt. (Meer over de rol van Le Corbusier hier.) Dit zijn cerebrale ingrepen, zoals Bach het muzikaal motief B-A-C-H gebruikt heeft, en zoals het 'e-rondeel' gebaseerd is op de decimale ontwikkeling van het getal e. In al deze gevallen is de keuze gemaakt niet omdat het zo mooi is, maar gewoon als vormgevend element, één keuze naast vele andere die even goed zouden zijn. Kunstenaars kunnen er ook (onterecht) van overtuigd zijn dat de gulden snede garant staat voor diepe schoonheid, en haar vanuit dit misverstand bewust toepassen, waarmee zij de zaken als het ware op hun kop zetten.
Toegevoegd 15 maart 2018. Een mooi voorbeeld van het laatstgenoemde fenomeen vinden we in A New Kind of Science van Stephen Wolfram, blz. 891:
We treffen er de onjuiste bewering aan dat de Gulden Snede al sedert de oudheid een schoonheidsideaal was, onmiddellijk gevolgd door de mededeling dat het computeralgebraprogramma Mathematica die gulden verhouding als standaard gebruikt. Er zou geen reden voor die verhouding zijn als Wolfram niet (valselijk) geloofde hiermee een grote traditie te voort te zetten!
(Wordt vervolgd met Nog Meer Quatsch)