We weten sedert het bewijs van Pierre Wantzel (1837) dat het onmogelijk is, een gegeven willekeurige hoek in drie gelijke hoeken te verdelen met louter gebruik van passer en liniaal. Maar Archimedes had al een correcte oplossing bedacht die weinig méér gebruikte dan dat; het volstaat nl. dat er op de liniaal twee punten staan. Men stelle zich dus een oneindig lange liniaal voor (met één rechte kant, overigens, want een liniaal met twee rechte kanten is een veel sterker instrument dan de 'euclidische' liniaal), met daarop twee 'streepjes'. In de figuur hieronder is het stuk liniaal tussen de streepjes in het blauw aangegeven. Daarnaast beschikt men ook over een oneindig grote passer.
De gegeven hoek, met grootte α, heeft hoekpunt A en benen a,b.
Is β de hoek met hoekpunt A en benen AC,AD, dan is β=α/3. Driehoek ACD is immers gelijkbenig, zodat de hoek in C eveneens β is. Bijgevolg is de hoek D van de driehoek ABD (buitenhoek van driehoek ACD) 2β. Driehoek ABD is eveneens gelijkbenig, zodat zijn hoek B ook 2β is, en zijn tophoek is het supplement van 4β. De hoek met hoekpunt A en benen AB,AC is dus het supplement van 3β en α, die op zijn beurt dáárvan het supplement is, is 3β.
Door trisectie van een hoek van 120° vindt men de middelpuntshoek van een regelmatige negenhoek. Hier de geconstrueerde negenhoek.
De gegeven hoek, met grootte α, heeft hoekpunt A en benen a,b.
- gebruik de liniaal 'gewoon' om het been a te verlengen met de halve rechte d.
- gebruik de liniaal 'speciaal' om op het been b een punt B te bepalen op 'blauwe' afstand van A
- gebruik de passer om de cirkel te bepalen met A als middelpunt en door B
- gebruik de liniaal 'speciaal' door haar door B te laten gaan en tegelijk een van de merkpunten langs d te schuiven tot CD juist de 'blauwe' lengte heeft.
Is β de hoek met hoekpunt A en benen AC,AD, dan is β=α/3. Driehoek ACD is immers gelijkbenig, zodat de hoek in C eveneens β is. Bijgevolg is de hoek D van de driehoek ABD (buitenhoek van driehoek ACD) 2β. Driehoek ABD is eveneens gelijkbenig, zodat zijn hoek B ook 2β is, en zijn tophoek is het supplement van 4β. De hoek met hoekpunt A en benen AB,AC is dus het supplement van 3β en α, die op zijn beurt dáárvan het supplement is, is 3β.
Door trisectie van een hoek van 120° vindt men de middelpuntshoek van een regelmatige negenhoek. Hier de geconstrueerde negenhoek.
