Crockett Johnson en de regelmatige zevenhoek

'Crockett Johnson' (1906-1975)

was een cartoonist, schrijver en illustrator van kinderboeken. (Zijn echte naam was helemaal anders.) Onder ingewijden is hij ook bekend als schilder van abstracte schilderijen waarin hij telkens een bepaalde meetkundige stelling uitbeeldde (hier een selectie). Tijdens een van zijn ontwerpen ontdekte hij in 1975 een meetkundige constructie waarvan Archimedes zeer onder de indruk zou geweest zijn: een constructie (geen benadering!) van de regelmatige zevenhoek! Wij weten sedert Gauss dat de regelmatige zevenhoek niet met passer en liniaal construeerbaar is, maar Johnson deed het met de 'gemarkeerde' liniaal die Archimedes had gebruikt voor de trisectie van hoeken (zie hier). Het gaat dus om een liniaal waarop twee punten ('streepjes') staan. Wij kleuren het 'gemarkeerde' stuk van de liniaal opnieuw blauw.

Dit zijn de opeenvolgende stappen.

• gebruik de passer en de 'speciale' liniaal om AB en CD te construeren, beide met 'blauwe' lengte en loodrecht op elkaar
• gebruik passer en 'gewone' liniaal voor de middelloodlijn Dd en de cirkel met middelpunt A door C
• gebruik de liniaal 'speciaal' om haar door B te doen gaan en een van de merkpunten langs d te verschuiven tot EF de 'blauwe' lengte heeft

De cirkel met middelpunt F door E snijdt EA en EB in twee opeenvolgende hoekpunten van de regelmatige zevenhoek in die cirkel.

De trisectie à la Archimedes ligt niet voor de hand, maar het bewijs (als men de figuur eenmaal voor zich heeft) is kinderspel, men hoeft er zelfs niet bij te schrijven. Niet aldus bij Johnson! Het volledig uitgewerkte bewijs is hier na te lezen, en dit is het oorspronkelijke artikel uit 1975. Op de laatste bladzijde schrijft Johnson over zichzelf:

De auteur, die een schilder en geen wiskundige is, maakte gebruik van de fascinerend welwillende interne meetkunde van de veelhoek in een reeks abstracte schilderijen. De tekening voor een van die schilderijen leidde tot de ontdekking van de √2-lijn en de neusis-constructie. 

(De 'gemarkeerde' liniaal van Archimedes heet in het Grieks neusis.) De regelmatige zevenhoek is weinig onderzocht omdat hij niet met passer en liniaal construeerbaar is, maar is meetkundig zeer boeiend, zie b.v. hier.