Artistieke wiskunde — opus XVIII, Hongaarse vierkanten

Afgebeeld zijn 4 vierkanten van 8x8, verdeeld in 11 rechthoeken:  

1x1 (zwart)

1x2 (zwart)

1x3 (zwart)

1x4 (geel)

1x5 (lichtblauw)

2x2 (lichtgroen)

2x3 (donkergroen)

2x4 (donkerblauw)

2x5 (grijs)

3x3 (rood)

3x4 (oranje)

In feite gaat het om opgeloste puzzels, die hun oorsprong vinden in Hongarije, het land van de Rubik-kubus. In 2017 verscheen het boek Nyolcrétű út (De achtvoudige weg) van László Mérő, een wiskundige, actief in het onderzoek van Artificiële Intelligentie en docent aan het Instituut Psychologie van de Eötvös Loránd Universiteit in Budapest.

Als appendix beschrijft het boek een nieuw type van spel. Als opgave krijgt men het vierkant 8x8 waarin de drie blokjes met de kleinste oppervlakte (bij ons zijn die zwart) in een bepaalde positie liggen. Het spel bestaat er dan in, het vierkant volledig te vullen met de overige 8 blokjes. Men kan gemakkelijk de zwarte blokjes zo leggen dat er geen oplossing bestaat. Via een computerprogramma is dus vooraf vastgesteld dat er een oplossing bestaat, en wel juist één. Dit laatste gegeven is vaak nuttig, want men weet dat de oplossing geen twee niet-zwarte rechthoeken kan bevatten die samen één grotere rechthoek vormen. (Was dat het geval, dan zou men die twee rechthoeken kunnen verwisselen en toch dezelfde plaats vullen.)

Het boek bevat 332 opgaven (mij welwillend ter beschikking gesteld door de bedenker) in vier gradaties van moeilijkheid:

K1 tot K44, met de K van Kezdö = beginneling

H1 tot H122, met de H van Haladó = gevorderd

M1 tot M122, met de M van Mester = meester

N1 tot N44, met de N van Nagymester = grootmeester.

Onder deze opgaven zijn er exact 4 beginposities die voldoen aan de volgende eisen:

de drie blokjes raken elkaar niet

het kleinste blokje in een hoek

de twee andere blokjes staan loodrecht op elkaar (niet evenwijdig, dus)

Dit zijn ze, voorzien van de oorspronkelijke nummering, en zo geschikt dat er vier zwarte hoekpunten zijn.  

De concrete uitvoering op een canvasplaat van 60x60 cm staat hier bovenaan.

Opmerkingen. 

1. M.b.v. een ander computerprogramma is later vastgesteld dat er ongeveer 1800 opgaven bestaan met een unieke oplossing.
2. Het spel is gecommercialiseerd onder de benaming Mondrian Blocks (4 uitvoeringen, elk met 88 opgaven in 4 niveau's) en Rubik's Gridlock (88 opgaven)

Da Vinci — the impossible Vitruvian Man

Previous episode: here.

Leonardo da Vinci's Vitruvian Man is anatomically impossible. He has drawn a man whose legs rotate around his navel (light blue dot in the image below), which is physically impossible. In fact, each leg rotates around the corresponding hip joint (green dot below for the left leg). The green dashed arc shows how the big toe would really move if the leg swung sideways. It cannot possibly end up where da Vinci puts it. To be consistent with the drawing, the man's legs must shrink when moved sideways!

  

For comparison, consider the Vitruvius interpretation by Claude Perrault (Les Dix Livres d’architecture de Vitruve, corrigez et traduits nouvellement en françois avec des notes et des figures, edition 1684, Book III, Plate VII).

Superimposing the separate figures, we obtain this:

 

Perrault's circle man does not point his toes forward, and so there is no possibility to check if his leg has shrunk, like with da Vinci. Anyhow, there is no evident impossibility. 

*