Artistieke wiskunde, opus XVII – wervelende vierkanten

Dit is de uitvoering met acrylstiften op een canvasplaat van 60x60 cm

 en hieronder volgt de toelichting. We gaan uit van een vierkant met zijde 1

 en vinden m.b.v. enkele lijnstukken en cirkelbogen 

(De lengte van AE volgt uit  de stelling van Pythagoras.) De rechthoek ABJI heeft dus als zijden: AB=1 en AI=𝜑. Hij kan verdeeld worden in een vierkant AKLI met zijde 𝜑 en een rechthoek KBJL met zijden KB=1-𝜑 en BJ=𝜑. Door de kenmerkende eigenschap van het getal 𝜑 (die in de figuur hieronder bij het lijnstuk KB vermeld staat) heeft de rechthoek KBJL dezelfde vorm als de oorspronkelijke rechthoek ABJI, alleen is hij met een factor 𝜑 verkleind en 90 graden in wijzerzin gedraaid.

Op de rechthoek KBJL kan de werkwijze herhaald worden: splitsen in een vierkant en een rechthoek van dezelfde vorm als de eerste, opnieuw verkleind en opnieuw gedraaid, enzovoort. Na vier stappen eindigen we met een rechthoek RQOM die vier keer met een factor 𝜑 verkleind is, maar die dezelfde ligging heeft als de eerste.

De werkwijze kan oneindig voortgezet worden. Er ontstaat op die manier een oneindige rij vierkanten die in wijzerzin ronddraaien en bij elke stap met een factor 𝜑 verkleind worden. Man kan aantonen dat het punt waarrond de werveling gebeurt het punt U is dat in de figuur hieronder aangegeven is.

In de concrete uitvoering in acryl zijn afgebeeld: de constructie van 𝜑 (in goudkleur twee lijnstukken en twee cirkelbogen) en twee generaties van de wervelende vierkanten. De eerste vier vierkanten zijn zwart, rood, blauw en paars, en hierna worden de kleuren herhaald voor de vierkanten van de volgende generatie. Men moet zich voorstellen dat de werkwijze oneindig doorloopt in het wit gebleven rechthoekje. 

Artistieke wiskunde, opus XVI — de regelmatige veelvlakken

In de driedimensionale ruimte bestaan vijf, en slechts vijf, regelmatige veelvlakken: met vier, zes, acht, twaalf of twintig zijvlakken. Het zesvlak en het achtvlak zijn elkaars duaal: de middelpunten van de zijvlakken van de ene zijn de hoekpunten van de ander. Evenzo zijn het twaalfvlak en het twintigvlak elkaars duaal. Het viervlak is zijn eigen duaal: de middelpunten van de zijvlakken vormen een nieuw viervlak.

Hieronder de veelvlakken en hun duaal zoals ze voorkomen in Peter Berger, Aspekte der Körpergeometrie, 2016, blz. 82.

Dit is uitvoering op een canvasplaat van 60x60 cm:

 

De duale veelvlakken zijn in overstaande hoekpunten geplaatst, met het viervlak (dat zijn eigen duaal is) in het midden. Voor de uitvoering zijn alleen POSCA acrylstiften gebruikt.

Artistieke wiskunde, opus XV — Verknipte figuren

Inleiding

Een veelhoek is een figuur bestaande uit een eindig aantal niet-overlappende (volle) driehoeken in hetzelfde vlak. De oppervlakte van die veelhoek is de som van de oppervlakten van de samenstellende driehoeken. Een veelhoek A verknippen betekent: hem onderverdelen in veelhoeken die herschikt worden, door translaties en rotaties, tot een nieuwe veelhoek B (die uiteraard dezelfde oppervlakte heeft). Door de bewerkingen in omgekeerde zin te doorlopen kan men dan ook B verknippen tot A. 

Elementaire eigenschap: elke veelhoek kan verknipt worden tot een vierkant. Dit ziet men als volgt in.

(a) van driehoek naar parallellogram

De verdeling van de driehoek gebeurt door de middenparallel. 

De blauwe driehoek moet over 180° gedraaid worden.

(b) van parallellogram naar rechthoek

(c) van rechthoek naar vierkant

Deze opdeling van een rechthoek in vier stukken is altijd mogelijk, want als b<a, dan is vkw(ab)<a. Als b<a<2b dan is ook een opdeling in drie stukken mogelijk. Voor 'lange' rechthoeken, zoals deze hierboven, is deze werkwijze echter onmogelijk.

Door toepassing van a-b-c verknipt men elke driehoek waaruit de veelhoek bestaat tot een vierkant. Hierna past men herhaaldelijk toe:

(d) van twee vierkanten naar één vierkant

Men eindigt uiteindelijk met één vierkant, dat dezelfde oppervlakte heeft als de gegeven veelhoek.

Gevolg: hebben twee veelhoeken dezelfde oppervlakte, dan men de één verknippen tot de ander. Immers, men kan beide verknippen tot vierkanten. Als men voor één van die vierkanten de bewerkingen omgekeerd doorloopt, dan heeft men (met een vierkant als tussenstap) de ene veelhoek herknipt tot de andere.

Men kan de procedure aan het werk zien in deze fraaie app. Men tekent twee willekeurige veelhoeken, het programma herleidt ze tot dezelfde oppervlakte en verknipt dan de eerste tot de tweede.

De principiële werkwijze die hier beschreven staat leidt tot een opdeling van de gegeven veelhoek in zeer vele stukken. De uitdaging bestaat er nu in, een opdeling in zo weinig mogelijk stukken te vinden. Groot meesterschap hierin is vertoond door Gavin Theobald.

Het concrete werk in acryl

Afgebeeld zijn twee van de dissecties van Theobald: van een gelijkzijdige driehoek naar een regelmatige zevenhoek in acht stukken (bovenaan) en van een vierkant naar een regelmatige zevenhoek in zeven stukken (onderaan). Omwille van het evenwicht in de figuur zijn de zevenhoeken niet onder elkaar weergegeven, maar geschrankt. De vier veelhoeken hebben dezelfde oppervlakte. De canvasplaat is, zoals altijd, 60 op 60 cm.

Artistieke wiskunde, opus XIV — 324 vierkantjes in tien kleuren

 

Canvasplaat 60x60 cm waarop 18x18 vierkantjes met zijde 1,5cm. Het is een magisch vierkant waarvan de tien cijfers door kleuren weergegeven zijn. Het magisch vierkant zelf bestaat uit de eerste achttien decimalen na de komma van respectievelijk 1/19, 2/19 enzovoort tot 18/19:

Elk van de 18 rijen, 18 kolommen en 2 diagonalen levert een som 81 op. De kleurcode van de cijfers kan men in de geschilderde versie uit de eerste kolom aflezen:

0 = rood

1 = lichtblauw

2 = donkergroen

3 = geel

4 = violet

5 = oranje

6 = grijs

7 = donkerblauw

8 = lichtgroen

9 = zwart

Elke rij en elke kolom bevat één 0 (rood) en één 9 (zwart) en elk van de andere cijfers twee keer. De kleuren zijn aangebracht met acrylstiften van het merk POSCA, en het rooster van witte lijnen met een roller van Uni-ball SIGNO.

Meer technische toelichting hier en hier.

The magic square of 1/19

Introduction

For 1/19 as generator of the 18x18 magic square

 see here. The 18 rows, 18 columns and 2 diagonals all add up to 81. Each row and each column contains one 0 and one 9, and each other digit twice. In this post we implement this magic square, coloured, in GeoGebra.

The colour code for the digits can be deduced from the first column, whose successive colours represent 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, Each row and each column contains one red and one black square, and each other colour twice.

The digits

The digits of 1/19 can be obtained from the On-line Encyclopedia of Integer Sequences (here). The first 18 digits of 1/19 are endlessly repeated, and its multiples 2/19,...,18/19 have the same period. The lists below give the first periods of 1/19 up to 18/19. They can be obtained (though not in order) by rotating the digits in the first list.

• digits01 = {0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1}
• digits02 = {1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2}
• digits03 = {1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3}
• digits04 = {2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4}
• digits05 = {2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5}
• digits06 = {3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6}
• digits07 = {3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7}
• digits08 = {4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8}
• digits09 = {4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9}
• digits10 = {5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0}
• digits11 = {5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1}
• digits12 = {6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2}
• digits13 = {6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3}
• digits14 = {7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4}
• digits15 = {7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5}
• digits16 = {8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6}
• digits17 = {8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7}
• digits18 = {9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8}

The list of all 324 digits {0, 5, 2, ..., 5, 7, 8}, from the first in digits01 to the last in digits18, is obtained in digits below.

• digits00={digits01, digits02, digits03, digits04, digits05, digits06, digits07, digits08,d igits09,d igits10, digits11, digits12, digits13, digits14, digits15, digits16, digits17, digits18}
• digits=flatten(digits00)

The squares

coor is the list of coordinates (1,18), (2,18), ..., (18,18), (1,17), ..., (18,1), i.e., row after row, from top to bottom.

• to18=Sequence(18)
• h01=(to18, 1) etc h18=(to18, 18)
• coor00={h18, h17, h16, h15, h14, h13, h12, h11, h10, h09, h08, h07, h06, h05, h04, h03, h02, h01}
• coor=flatten(coor00)

squares is the list of the 324 unit squares centered at the coordinates in coor.

• coorlu=coor + (-0.5, -0.5)
• coorru=coor + (0.5, -0.5)
• squares=Sequence(Polygon(coorlu(k), coorru(k), 4), k, 1, 18 * 18)

squares and coor

Squares coloured per digit

The list is0 is {1, 20, 50, ..., 316}, consisting of the numbers k among {1, 2, 3, ..., 324} such that digits(k) is 0, and squares0 consists of the squares containing a 0. 

• is0=KeepIf(digits(k) ≟ 0, k, 18*18) 
• squares0=Sequence(squares(is0(k)), k, 1, Length(is0))

Doing the same for 1,2,...,9 one obtains the ten-colour square shown above. To separate the squares, a black grid has been added:

• hori=Sequence(Segment((0.5, k - 0.5), (18.5, k - 0.5)), k, 1, 19)
• verti=Sequence(Segment((k - 0.5, 0.5), (k - 0.5, 18.5)), k, 1, 19)

Ulam's Spiral in GeoGebra

Ulam's Spiral is a square spiral of natural numbers, on which the prime numbers are highlighted. (See here.) In this post we implement it in GeoGebra 5 (manual here). 

A. The grid

GeoGebra commands.

1. d=15
2. verti=Sequence(Segment((k, -d), (k, d)), k, -d, d)
3. hori=Sequence(Segment((-d, k), (d, k)), k, -d, d)

Comment. 

1. d is the dimension of the grid, which will extend from (-d,-d) lower left to (d,d) upper right. 
2. verti is the list of vertical segments in the grid.
3. hori contains the horizontal segments.

 B. The square spiral

Introduction.

To generate the counterclockwise square spiral, the steps (Right, Up, Left, Down) starting from the origin (0,0) are: 

R U LL DD RRR UUU LLLL DDDD ...     (*)

The last complete cycle right-up-left-down is

R(2d-1 times) U(2d-1 times) L(2d times) D(2d times)

and it ends in (-d,-d). The effects of (*) on the abscissas are

+1 0 -1 -1 0 0 +1 +1 +1 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 ...     (a)

and on the ordinates

0 +1 0 0 -1 -1 0 0 0 +1 +1 +1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 ...     (o) 

These sequences are obtained as xsteps and ysteps below. To end in (-d,d) there are 2d more steps right required. 

GeoGebra commands.

1. plus=Sequence(Sequence(1, m, 1, k), k, 1, 2d)
2. minus=Sequence(Sequence(-1, m, 1, k), k, 1, 2d)
3. zero=Sequence(Sequence(0, m, 1, k), k, 1, 2d)
4. odds=Sequence(k, k, 1, 2d - 1, 2)
5. xstepsb=Zip({plus(A), zero(A), minus(A + 1), zero(A + 1)}, A, odds)
6. xsteps=Flatten(xstepsb)
7. xstepsclose=Sequence(1, i, 1, 2d)
8. xstepsclosed=Join({xsteps, xstepsclose})
9. xs=Sequence(Sum(xstepsclosed(m), m, 1, k), k, 1, Length(xstepsclosed))
10. ystepsb=Zip({zero(A), plus(A), zero(A + 1), minus(A + 1)}, A, odds)
11. ysteps=Flatten(ystepsb)
12. ystepsclose=Sequence(0, i, 1, 2d)
13. ystepsclosed=Join({ysteps, ystepsclose})
14. ys=Sequence(Sum(ystepsclosed(m), m, 1, k), k, 1, Length(ystepsclosed))
15. xsys=Sequence((xs(k), ys(k)), k, 1, Length(xstepsclosed))
16. points=Append((0, 0), xsys)
17. spiral=Polyline(points)

Comment.

1. plus is the sequence {{1},{1,1},{1,1,1},...} with the last term containing 2d numbers.
2. minus is {{-1},{-1,-1},{-1,-1,-1},...}. 
3. zero is {{0},{0,0},{0,0,0},...}. 
4. odds is the sequence {1,3,5,...,2d-1}, used in the two ZIP operations, in which the step is 2. 
5. xstepsb is the sequence {{{1}, {0}, {-1, -1}, {0, 0}}, {{1, 1, 1}, {0, 0, 0}, {-1, -1, -1, -1}, {0, 0, 0, 0}}, ...}, consisting of two sets of 1 term, then two of 2 terms, three of 3 terms etc.
6. xsteps is the sequence (a) mentioned above.
7. xstepsclose is a constant sequence of 2d numbers 1.
8. xstepsclosed contains the steps in the abscissa up to the last point (-d,d).
9. xs is {1, 1, 0, -1, -1, -1, ..., d}, the successive partial sums of the previous list, hence the successive abscissas of the points on the spiral.
10. is 5. for ordinates.
11. is 6. for ordinates, resulting in the sequence (o) mentioned above.
12. is 7. for ordinates.
13. is 8. for ordinates.
14. is 9. for ordinates.
15. xsys is the list of successive coordinates of all points on the spiral except the origin.
16. points is {(0,0),(1,0),(1,1),...(d,-d)}, the list of all points on the spiral. 
17. spiral is the square spiral starting in (0,0) and ending in (d,-d).

C. Ulam's spiral 

 GeoGebra commands.

1. gridnumber=(2d + 1)²
2. lastprime=PreviousPrime(gridnumber)
3. gridprime=KeepIf(IsPrime(a), a, Sequence(gridnumber))
4. ulam=Sequence(points(gridprime(k)), k, 1, Length(gridprime))

Comment.

1. gridnumber is the number of points in the grid, i.e., on the spiral.
2. lastprime is the greatest prime number in the sequence {1,2,...,(2d + 1)²}.
3. gridprime contains the prime numbers in {1,2,...,(2d + 1)²}.
4. ulam is {(1,0),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(2,0),...}, the sequence of the points on the spiral  whose sequence number is prime.

 

Artistieke wiskunde, opus XIII --- de driehoek van Morley

 

De hoeken van de driehoek zijn in drie gelijke delen verdeeld. Dit is onmogelijk met passer en liniaal (stelling van Wantzel), maar wordt door GeoGebra voortreffelijk uitgevoerd. Als men telkens de "onderste" twee trisectrices met elkaar snijdt ontstaat een gelijkzijdige driehoek, in het zwart uitgevoerd. Een elementair bewijs van deze stelling van Morley vindt men hier.

Deze configuratie bevat nog veel meer merkwaardigs dan alleen de driehoek van Morley.

Concurrente rechten:

en zestallen op een ellips:

(M.b.v. de raaklijnen uit de hoekpunten aan de vorige ellips, in het blauw)

Deze eigenschappen kaderen in de context van de stelling van Carnot over de snijpunten van een ellips met de zijden van een driehoek. De meeste vernoemde eigenschappen vindt men, met bewijzen, in Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016.

Jan Eekhout — twee romans

Deze roman uit 1941 beschouw ik als een grote prestatie. Eekhout, een Nederlandse protestant, zet hier de pastoor van Damme in het jaar 1780 neer, en hij doet dat in het Vlaams van toen. Eekhout was van Sluis, en zal niet onbekend geweest zijn met de streektaal (die nauwelijks verschilt van die van Knokke of Damme). Niettemin moet hij heel wat academische energie gestopt hebben in het systematisch uitwerken van het Ponckiaans. Hier (het werk van een anonieme bewonderaar) vindt men een uitgebreide woordenlijst.

Om mijn toekomstige gesprekken wat couleur locale te geven heb ik alvast de volgende zegswijzen genoteerd. 

• Wat mart gij nog?
• een spanne laveiens
• vat toch zate!
• hij verzeerderde van gang, rocht schier in draving
• hij gebaart van Lapscheure te komen
• stuiten zonder smeer glijden bezwaarlijk door den gorgel
• ik vorder naakt bescheid van u af
• een zwart wit
• ik bevat u niet bijster
• heelmeesters zijn halfmeesters

Eekhout vergist zich af en toe in de geslachten, iets wat Poncke zelf zeker niet zou overkomen zijn. Zo maakt hij tong en gal mannelijk, wijn vrouwelijk, en voor pijl vinden we zijnen en haar vlak bijeen. Het ergste (voor een pastoor) is wel den mis (mannelijk?) terwijl iedereen toch de misse/messe zegt. (Er zijn meer voorbeelden te geven.)

Het wederkerig voornaamwoord zich is een late ontlening aan het Duits, en bestaat nog altijd niet in het Vlaams of Brabants. Het is onmogelijk dat Poncke en zijn tijdgenoten het zouden gebruiken.

Ook twijfel ik aan de authenticiteit van huilen in de betekenis van "wenen", kies voor "tand", mal voor "zot", en ik hoop niet dat in plaats van "ik hoop dat niet".

Door deze taalkundige bemerkingen laat ik mij niet afbrengen van mijn algehele appreciatie voor het werk. Het zou in Vlaanderen beroemder moeten zijn dan Streuvels en Timmermans. Naast anekdotes die men monkelend tot zich neemt bevat Poncke ook heel wat aan eruditie. Hij verplaatst zich niet voor niets op een ezel die Socrates heet!

*

Eekhout was een van de honderdduizend leden van de NSB, en dat is hem na de oorlog natuurlijk zuur opgebroken. In 1954 publiceerde hij een apologetisch geschrift in de vorm van een roman opgebouwd rond de zeer herkenbare dichter en schrijver Paul Nijland. Deze verdwijnt —zoals Eekhout— uit Nederland als de grond hem daar te heet onder de voeten wordt, en verkast naar Duitsland, waar hij terecht komt in kolonies van Vlaamse en Nederlandse collaborateurs. De auteur kort de plaatsnamen af, maar men herkent gemakkelijk Lüneburg in "L." en Celle in "O". Behalve Eekhout zelf is ook Florrie Rost van Tonningen zeer herkenbaar als "freule Horst van Saeftinghe". 

Het milieu van uigeweken collaborateurs, in een apokalyptisch Duitsland wachtend op het onherroepelijke einde, heeft Céline tot onvergetelijke bladzijden geïnspireerd, maar Eekhout heeft er weinig mee aangevangen. Ik vond de roman ronduit houterig van opbouw. Het kernstuk wordt natuurlijk gevormd door de dagboekfragmenten van "Nijland", waaruit moet blijken hoezeer die al afstand genomen had van het nationaalsocialistische gedachtengoed. De vrijgelaten gevangenen van het nabije Bergen-Belsen (in zeer vreemde omstandigheden aan de Britten gelaten, zie hier) versterken nog de afkeer van Nijland voor het regime dat hij met de pen gediend had. Ook het dorre ingelast exposé van "de professor" valt loodzwaar. In de uitgebrachte meningen en feiten is overigens heel wat aan te wijzen dat anachronistisch is: daterend van 1954, niet 1945.

Stilistisch is het boek ronduit zwak; op vele plaatsen denkt men te maken te hebben met een onhandige vertaling uit het Duits, genre hij ving te arbeiden aan. Zou dit de typische stijl van Eekhout zijn? In dat geval verkies ik veruit het Vlaams van Poncke.

Oddi's construction of the meridian (1614)

The meridian

In 24 hours, the earth rotates once around the axis which passes through its poles, and which in our times happens to roughly point to the polestar. To an observer on earth, therefore, the sun seemingly rotates, in the opposite direction, around that same axis. Its path is a circle, whose magnitude increases and decreases with the seasons. Generally, part of that orbit is below the horizon, and an observer sees the sun rise, culminate and set. The points of sunrise and sunset are located symmetrically with respect to the culmination point due south. The line connecting sunrise and sunset is parallel to the line East-West, coinciding with it twice a year. (Figure 1.) 

Figure 1. (Polestar deliberately off target w.r.t. the axis of rotation.)

The sun's rays, hitting a point on earth, e.g. the top S of a vertical rod, create a shadow cone. Any three points on that cone equally far removed from S define a plane 𝛼 parallel to the plane 𝜛 in which the sun seemingly moves. Both planes are orthogonal to the axis of rotation. The intersection of 𝛼 with the horizontal plane of the observer is a straight line parallel to the line East-West. A line orthogonal to it is oriented North-South; it is the local meridian. In the sequel we focus on obtaining a line East-West, which is the crucial part in obtaining the meridian.

The meridian obtained from two shadows of equal length

In the course of a day, the shadow of the top of a vertical rod traces on a horizontal plane a curve which is a conic section, — for most latitudes, a hyperbola. On that curve, any two points equally far from the foot of the rod correspond to positions of the sun that are symmetric with respect to the culmination point at noon. Connecting such points results in a line oriented East-West. This elementary construction yields the meridian from two shadows of equal lengths. In practice, one could extrapolate the hyperbola from any number of observed shadows, then determine where this curve intersects a circle whose centre is the foot of the vertical rod. (Figure 2.)

Figure 2.

The meridian obtained from three shadows of different lengths

In 1614 Muzzio Oddi (relevant pages here) showed how to construct the meridian from any three shadows of unequal lengths. (Figure 3.)

Figure 3. Perspective view.

The rod OS is placed vertically on the horizontal plane of the observer. Let the rays be SA, SB, SC with shadows OB < OA < OC. On the rays SA,SC make SD=SE=SB. We will construct the intersection of the plane BDE and the horizontal plane OABC. As B is in both planes, it suffices to obtain a second point in both planes. Project D,E in F,G respectively. From OB<OC it follows that  EG<DF, and the line through D,E will intersect the line through FG in some point J. This point is in both planes: on the line through D,E (points in the plane BDE), and on the line through F,G (points in the plane OABC). 

To find J, we will rotate the plan FGED around the axis FG onto the plane OABC; this rotation will not affect the point J, which is on the axis. It is easy to find where D and E will land: they move orthogonally to the axis, and the distances DF and EG are preserved. Hence, if HF=FD and IG=GE, both  perpendicular to the axis, the line through HI is the rotated image of the line through D,E. As J is on the line though D,E and on the axis, its rotated image (J again) is on the line through H,I and on the axis. 

Figure 4 shows the construction in the horizontal plane. The shadows are OA,OB,OC and the radius of the circle is the length of the rod. The right triangle OBS'' reveals the actual length of SB (red), which in the triangles OAS' and OCS''' leads to D',E', then F,G and finally H,I. Blue segments have the same length, green segments likewise. The line in violet is oriented East-West.

Figure 4. Constructions in the horizontal plane.

For Oddi's construction three separate observations are sufficient. For practical purposes however, the result is very poor. The sun in the sky is not a point, but a disk, and shadows are fuzzy blurs, spoiling the beauty of the geometry.

Sigma Xi's spurious Greek

Sigma Xi is a very distinguished scientific society, founded in 1886. Twenty-five years after its founding, a nice summary of its origins was published by Henry Ward, secretary of the society; find it here. On p.24 we read

We learn from it that the letters Sigma, Xi were chosen by the founders without any specific meaning attached to them. Only later did geology professor Henry Williams succeed in finding Greek words matching these initials and expressing a meaning suitable to be chosen as motto. Ward gives two variants (2 and 3 in our enumeration), but we'll add two more: 

1. 𝛴𝜋𝜊𝜐𝛿𝜔𝜈 𝛯𝜐𝜈𝜊𝜈𝜏𝜀𝜍
2. 𝛴𝜋𝜊𝜐𝛿𝜔𝜈 𝛯𝜐𝜈𝜊𝜈𝜀𝜍
3. 𝛴𝜋𝜊𝜐𝛿𝜔𝜈 𝛯𝜐𝜈𝜔𝜈𝜀𝜍 
4. 𝛴𝜋𝜊𝜐𝛿𝜔𝜈 𝛯𝜐𝜈𝜔𝜈𝜀𝜉

Variant 4 appeared in a 1922 publication by Sigma Xi (here). As far as we could check, form 1 is not to be found in Sigma Xi publications. We'll consider it first, because both words are correct Greek, apart from the accents on o and 𝜔, which we dropped. 

The first word, 𝜎𝜋𝜊𝜐𝛿𝜔𝜈, is the genitive plural of 𝜎𝜋𝜊𝜐𝛿𝜂, which means zeal or great attention, see Liddell-Scott-Jones (here). The second word, 𝜉𝜐𝜈𝜊𝜈𝜏𝜀𝜍, is a form of the verb 𝜎𝜐𝜈-𝜀𝜄𝜇𝜄, to be together (see here); it means those that are together. Their combination means more or less Companions of Zeal or Companions of Great Attention — a noble motto indeed. (I am told the proper case with 𝜎𝜐𝜈-𝜀𝜄𝜇𝜄 is actually the dative, not the genitive. But let's not be too harsh.)

Variant 2 is one step away from 1: the 𝜏 has disappeared, resulting in a word that doesn't exist in Greek. According to Ward, it was the original motto, meaning Partners in Investigation. References lacking, it is impossible to know whether or not professor Williams had the correct form. Given his skills in finding suitable Greek words with a certain initial letter and a certain meaning, we think he had. In that case, the corruption occurred later and by others. The translation given is correct if one identifies investigation with great attention.

Variant 3 is two steps away from 1: 𝜏 is lacking, and o has been replaced with 𝜔. While there is no such word in Greek, it definitely looks more convincing than 2. It is the canonical form adopted by Sigma Xi in 1892, supported by (anonymous) classical authority as being the best Attic Greek. Its standard interpretation Companions in Zealous Research skilfully combines zeal and great attention, which are both present in the sole word 𝜎𝜋𝜊𝜐𝛿𝜂.   

Variant 4 is three steps away from 1: 𝜏 is lacking, o has been replaced with 𝜔, and 𝜍 has been replaced with 𝜉. The latter is a trivial typo, but it shows how easily errors arise in Greek texts handled by non-professionals. Even people that should know better are not immune to it. In Ephemeris, a journal written in modern Latin, we read (here), Anno Domini MMVII:

Horresco referens! This is, without any comment or correction, the spurious form adopted by Sigma Xi in 1892. Tu quoque! 

Frank Arion — Dubbelspel

Frank Martinus Arion, overleden in 2015, was afkomstig van Curaçao, een Nederlands "benedenwinds" eiland voor de kust van Venezuela.

Zoals de meeste inwoners van dat eiland stamde Arion af van zwarte slaven. Hij studeerde Nederlands in Nederland. In 1973 verscheen 

Het boek was een onmiddellijk succes, en volkomen terecht want het is meesterlijk. Het verhaal speelt zich af op één enkele novemberzondag. De hoofdrolspelers zijn vier mannen en twee echtgenotes. Er is één halfbloed bij, met een Venezolaanse vader, maar de overigen zijn zwarten. (De schrijver en de personages gebruiken daarvoor het woord "neger", zonder enige pejoratieve bijklank, zoals dat in Vlaanderen altijd het geval geweest is). De namiddag brengen zij door met dominospelen, drinken en kletsen over allerlei. Op die manier verneemt de lezer gaandeweg alles over hun onderlinge verhoudingen, en zijdelings ook over de politiek en de toestand op het eiland. De titel "dubbelspel" verwijst zowel naar een bepaalde manier om een spel met een dubbelslag te winnen, als naar het "dubbele" van de verhoudingen, met jaloezie en overspel. Gaandeweg verliest één van de vier tijdens het spel het contact met de werkelijkheid, en hij eindigt in een toestand van totale vervreemding. (Men denkt onwillekeurig aan de Schaaknovelle van Stefan Zweig, waarin hetzelfde gebeurt met een schaakspeler.) Uiteindelijk loopt alles uit de hand, en twee van de vier schieten er het leven bij in. Na "Deel II: De middag en de schemering" volgt nog een verrassend onderdeel "Naspelen" waarin de schrijver zelf in de "ik"-vorm naar voren treedt.

Hieronder een handzaam overzichtje ten bate van de geïnteresseerde (her)lezer.

De schrijver localiseert het drama in "Wakota", een (gefingeerde) buitenwijk van de hoofdstad Willemstad. Hij schrijft: "Er waren in Wakota twee heuvels: die van Santa Gloria, zo genoemd naar de katholieke kerk die er stond, en daartegenover, maar een ietsje lager, de heuvel van Manchi. (...) Tussen de beide heuvels in liep de brede Tulaweg, die in het westen uitkwam op de Carpataweg, een vierbaansweg die het vliegveld en het hoerenkamp met de hoofdstad verbindt." Op een topografische kaart van Curaçao kan men die twee heuvels, gescheiden door de brede weg, gemakkelijk terugvinden. (Geel= hoger dan groen, rood= hoger dan geel.)

De twee grote kruisende wegen hebben fictieve namen gekregen, en dat is ook het geval voor de katholieke kerk, die in het echt "Santa Maria" heet. Hieronder twee hedendaagse zichten op de kerk, het ommuurde kerkhof (waar Nora met de doodgraver aan de slag gaat) en de "brede Tulaweg".

De met zoveel eerbied genoemde "Doktoor" is de invloedrijke politicus Moises Frumencio da Costa Gomez, jurist van vorming en griffier van beroep. 

Het boek is zeer goed geschreven. Men merkt nog niets van de hedendaagse taalfout om "meebrengen" te herdopen tot "meenemen", en de geslachten van de zelfstandige naamwoorden zijn grotendeel juist, één enkele mannelijke "hand" daargelaten — men kan niet het onmogelijke verlangen. Het meest genietbaar in dit genietbaar boek vond ik het onderdeel waarin pers, radio en TV samentroepen rond de spectaculaire dominowedstrijd.

*

 

Max Havelaar — literaire bemerkingen

Bronnen.

[RM] Willem Frederik Hermans, De raadselachtige Multatuli, Boelen uitgevers, 1976

[MH] Max Havelaar,  Ingeleid en van verklarende noten voorzien door Willem Frederik Hermans, De Bezige Bij, 1987 

[H] Max Havelaar, Het handschrift (facsimile), met [T] Toelichting op het handschrift, uitgeverij Bas Lubberhuizen, 2007

*

De wordingsgeschiedenis van Max Havelaar, zoals Multatuli haar beleefd heeft, begint in 1859 en eindigt in 1881. 

Links: de laatste bladzijde van [H], het handschrift uit 1859. In heel het handschrift zijn, in rode inkt, de ingrepen merkbaar van Jacob van Lennep.

Rechts: de laatste bladzijde van [MH], een fotografische heruitgave van de tekst (1881) zoals Multatuli hem zelf voor het laatst gecorrigeerd en goedgekeurd heeft. Voorzien van 194 Aantekeeningen en ophelderingen door Multatuli en 45 bladzijden Verklarende noten door Willem Frederik Hermans. Deze laatste had zich al eerder over Max Havelaar gebogen, wat resulteerde in [RM].

Enkele feiten.

Multatuli's vader was een zeekapitein genaamd 

Engel Douwes [= zoon van Douwe] Dekker. 

De schrijver zelf heette officieel Eduard Dekker, maar liet zich noemen

Eduard Douwes Dekker. 

Zijn vrouw verwees altijd naar hem als Dekker. Wie familiair met hem omging sprak hem aan met Dek. Ook zijn vrouw en kinderen deden dat. Zij was een verarmd baronesje, genaamd Everdine van Wijnbergen, maar hij noemde haar Tine. Het stel had twee kinderen: een zoontje Edu en een dochtertje Nonnie. 

De schrijver groeide op in een vroom protestants gezin, maar werd katholiek in een poging om een katholiek meisje te kunnen trouwen. Toen dat mislukte kreeg hij een depressie, en nam een betrekking aan op Sumatra, waarmee zijn koloniaal leven een aanvang nam. Zijn koloniale carrière zou eindigen toen hij, met overplaatsing bedreigd, eervol ontslag vroeg en kreeg. Daarna leefde hij (moeizaam) van zijn pen.

Hij kon absoluut niet met geld omgaan. Hij gaf veel geld weg dat zijn eigen gezin had kunnen gebruiken, en verspeelde alles in casino's, waar hij telkens nieuwe methodes uitprobeerde om de roulette te verslaan. Doordat hij steeds op de vlucht was voor schuldeisers leefde hij het grootste deel van zijn leven gescheiden van zijn vrouw en kinderen. Toen zoon Edu zestien jaar was verdween het drietal naar Venetië, waar Edu moeizaam kostwinner werd. Vader en zoon haatten elkaar hartsgrondig.

Dekker had ontelbare amourettes, waarvan hij zijn vrouw nauwkeurig op de hoogte hield. Zij heeft hem door dik en dun gesteund en liefgehad, en schreef Ik houd van de mensen waar mijn man van houdt. [RM, blz. 174] Een tijdlang woonde Dekker met zijn vrouw Tine en zijn minnares Mimi Schepel samen in één huis. Toen Tine stierf (in Venetië, ver van haar man) is Dekker hertrouwd met Mimi, ondanks zijn schamper geschrijf tegen het huwelijk. Zij adopteerden een zoontje, Wouter, waar Dekker gek op was. Het kind zelf wou later niets meer met Dekker te maken hebben.

Enkele literaire opmerkingen.

1. De eerste druk van Max Havelaar was vooraf door van Lennep bewerkt, soms met literaire bedoelingen, maar doorgaans met het duidelijk doel het boek zijn explosief karakter te ontnemen. Plaatsen en data zijn afgekort, zodat de doorsnee lezer de feiten en de personen niet precies kon thuisbrengen. Multatuli heeft zich met succes verzet tegen het knippen van de laatste bladzijden, waarin hij de koning aanspreekt. Daarentegen heeft hij zonder meer de volgende passage laten sneuvelen, waarin Frits dominee Wawelaar aan de tand voelt.

In plaats van aan te nemen wat de Schrift zegt - en dat behoort men toch te doen, want het staat in de Schrift zelve dat men gelovig moet wezen - doet hij allerlei vragen: “Wat was licht vóór er zon was? - Had die Melchizedek het ware geloof? - Wat zou er gebeurd zijn als Eva die appel niet gegeten had? - Is mijn broertje verdoemd omdat hij voor de doop stierf? - Waar was de politie toen Petrus Ananias en Saffirah liet doodvallen? - Droeg Jezus kousen, en had hij een tulband op? - Hoe hoog is hij opgevaren voor hij aan de rand kwam van onze atmosfeer, en waarheen ging hij verder? - Waarom was hij brutaal tegen zijn moeder toen deze hem zocht? - Is er een proces geweest over de waarde van die varkens die in het water werden gejaagd? - Waartoe dienden die varkens in een land waar zwijnevlees verboden is? - Hoe maakte men het met de nalatenschappen van de mensen die opstonden uit hun graven? - Waarom moest Ezechiël vuiligheid eten? - Wat is de bezigheid van een opperwezen bij volmaakte natuurwetten? - Waarom werd het mensdom eerst gered vierduizend jaar na de Schepping? - Waarom laat God toe dat velen die redding afwijzen? - Waarom heeft de duivel macht, als hij door Christus overwonnen is? - Was Constantijn de Grote niet een gemene moordenaar? - Vanwaar komt het dat vele eeuwen na Christus niet zo beschaafd waren als de eeuw van Augustus? - Waarom sluiten wij onze huizen in een land dat christelijk is, en waar dus geen dieven zijn? - Waarom was David een man naar Gods hart? - Waarom mochten de Israëlieten goud en zilver medenemen dat aan de Egyptenaren behoorde? - Waarom is Jezus een zoon Davids, als Jozef die van David afstamde, zijn vader niet was? - Hoe weten wij dat God groot is, als wij hem niet begrijpen? - Was Judith een fatsoenlijke vrouw? - Hoe kwam Noach aan een paar ijsberen voor de ark? - Vanwaar kwamen de mensen die Kaïn niet mochten doodslaan? - Wat gebeurt er als twee geloven tegen elkaar in bidden?”

En zo al voort! Gij begrijpt hoe Wawelaar, doordrongen van liefde tot de Waarheid die het Leven is, droefheid gevoelt bij zulke verbodene nasporingen.

In latere drukken, waarover Multatuli de zeggenschap had, zijn de afkortingen van Van Lennep hersteld, zodat de gebeurtenissen nauwkeurig in plaats en in tijd gesitueerd zijn. 

De vervloekte puntjes waarmee de heer Van Lennep goedvond m'n werk te bederven, zyn in deze uitgaaf natuurlyk door leesbare woorden en letters vervangen.

2. Het doel van Multatuli was: een pamflet schrijven dat de natie zou schokken. Hij koos daartoe een literaire inkleding, waarin de namen van de betrokkenen veranderd zijn.

• assistent-resident Eduard Dekker > Max Havelaar
• zijn vrouw Everdine  > Tine
• zijn zoontje Edu > Max
• generaal Michiels > Vandamme
• resident Brest van Kempen > Slijmering
• vorige assistent-resident Carolus > Slotering
• luitenant Collard > Duclari
• controleur van Hemert > Verbrugge

De gouverneur-generaal wordt niet bij naam genoemd, maar heette Duymaer van Twist.

De inheemse slechterik, de Regent van Lebak, is altijd bij zijn echte naam genoemd geweest: Radhen Adhipatti Karta Natta Negara.

Naast deze echte personen heeft Multatuli ook fictieve personages ingevoerd, met Batavus Droogstoppel als voornaamste. Max Havelaar begint ermee dat Droogstoppel in Amsterdam toevallig "Sjaalman"  ontmoet die aan lager wal geraakt is. De man bezorgt hem een groot pak papieren, en een bedelbrief, waarvan Droogstoppel zegt

En zyn naam stond er onder. Maar dien verzwyg ik, omdat ik er niet van houd, iemand in opspraak te brengen.

Om die reden noemt hij hem systematisch Sjaalman. Uit het "pak van Sjaalman" stelt de jonge Stern (literaire creatie) een boek samen, waaraan ook Droogstoppel bijdragen levert. 

3. Stern beschrijft de gebeurtenissen, die hij uit de papieren van Sjaalman (genoemd "de aanteekeningen van Havelaar") reconstrueert, doorgaans als een objectieve waarnemer, die zelf niet tussenkomt. 

Havelaar was een man van vyf-en-dertig jaren. Hy was slank, en vlug in zyn bewegingen (enz. enz.)

Dit roept al een vraag op, want had Droogstoppel niet gezegd dat hij de naam van "Sjaalman" ongenoemd wou laten? Die naam kan dus niet "Max Havelaar" zijn, die wél genoemd wordt. Heeft Stern de naam "Havelaar" bedacht? en heeft hij dan ook de overige namen (Slijmering, Slotering e.d.) bedacht?

Soms ook is in het "opstel van Stern" (zoals Van Lennep die hoofdstukken noemde) een "ik" aan het woord. 

Ik heb van Max Havelaar en zyn vrouw—want dit waren de beide personen die na den resident met hun kind en de baboe uit den wagen gekomen waren—nog niets gezegd, en misschien ware het voldoende, de kenschetsing van hun voorkomen en karakter aan den loop der gebeurtenissen en des lezers eigen verbeelding overtelaten.

Blijkbaar is Stern hier aan het woord, hoewel het literair ongepast is dat een objectieve schrijver plots als "ik" optreedt. Echt moeilijk wordt het als die "ik" het heeft over gebeurtenissen in Indië, die hij (Stern) onmogelijk beleefd kan hebben. Bijvoorbeeld:

Ik ben daar [in Java dus] bitter geworden. Wat zoudt ge denken van iemand die zulke zaken kon neerschryven zonder bitterheid?

In [T, 66-67] houdt men dit voor compositiefouten van Multatuli, die Van Lennep blijkbaar over het hoofd gezien heeft. Willem Frederik Hermans daarentegen ziet dit niet als een fout van Multatuli maar een slordigheid van het literair personage Stern.

Deze zin bewijst dat Stern, die nooit op Java was geweest, niet de eigenlijke schrijver kan zijn van de Indische hoofdstukken. Aangenomen moet worden dat hij deze in het pak van Sjaalman heeft aangetroffen en dat hij ze, al dan niet enigszins bewerkt, overschrijft. [MH, 409]

 Het is wel vreemd dat Droogstoppel, die de schrijfsels van Stern zo ongenadig beoordeelt, deze fouten onvermeld zou laten. 

4. Multatuli gebruikt, in Max Havelaar maar ook in zijn briefwisseling, vele totaal overbodige Franse en Duitse woorden en uitdrukkingen. Hij was dus het tegendeel van een purist. 

5. Multatuli hanteert de vormen "jij", "gij" en "u" als volkomen gelijkwaardig.

Weet je wel, Verbrugge, dat onze roeping heerlyk schoon is? Maar weet je ook wel dat ik alles wat ik je zoo-even zei, eigenlyk van u had moeten hooren? Ik ken u even goed als ik weet wie er garem glap maken aan de zuidkust. (H, blz.8)

Ge ziet dat de heer Slotering wèl iemand was, die een initiatief wist te nemen, je had je dus by hem kunnen aansluiten. (H, blz.8)

Beproef eens daar te zitten zonder u te verroeren, ge zult zien hoe spoedig je een spookachtigen indruk maakt op ieder ander, en zelfs op je eigen verbeelding. (H11)

Saïdjah en Adinda tutoyeren elkaar, tot zij plots zegt “Ik zal trouwen met u, wees daar zeker van!” — zonder dat iets in de dialoog dat verantwoordt. (Multatuli is niet de enige Nederlandse schrijver die dat deed. Tegenwoordig wordt deze vermenging van taalregisters, waarin Vlamingen uitblinken, afgekeurd.)

6. Multatuli gebruikt sterke en zwakke werkwoorden anders dan vandaag: stonden gekorven, hij vraagde, er schuilde, ze schrikte, hij blaasde. Zie ook