De bijziende Vlaming/Belg

 Hebt u veel vrienden in Vlaanderen?

Nee. Weinig. In de vriendschap is een Vlaming enigszins bijziend. Als u vlak voor hem staat, ziet hij u verschrikkelijk goed, maar verwijdert u zich, dan neemt hij u ook niet meer waar. Ik vermoed dat hij alle elementen voor een goede buurman in zich bevat en dat is toch ook iets. Zijn uitbundigheid is voor de korte afstand berekend. Ik heb het meermalen meegemaakt dat een Vlaming mij dringend verzocht om toch vooral eens langs te komen. Het is dan niet de bedoeling dat u dat ook doet. Wie daaraan na enige weken gevolg geeft, wordt met een lichte bevreemding ontvangen. Hij heeft zelfs moeite u te herkennen. (Bomans, Denkend aan Vlaanderen, Werken V, p. 768).

Hier slaat Bomans, zoals zo vaak, de nagel op de kop. Mijn vrouw en ik zijn eenvoudige wiskundigen, voor wie de woorden gewoon betekenen wat ze betekenen. Helaas zijn de meeste Vlamingen geen wiskundigen en zij vallen perfect onder Bomans' observatie. Toen wij jong getrouwd waren en de rituele zin vernamen dat we eens moesten komen haalden wij in onze naïviteit onze agenda tevoorschijn, waarna inderdaad een gegeneerde stilte viel. Zo was het blijkbaar niet bedoeld!

Bomans heeft geen ervaring met Walen, want dan zou hij weten dat die, hoe verschillend ook van Vlamingen, in dit vreemde gebruik nu eens niét anders zijn. Onlangs wisselde ik emails uit met een Franstalig iemand die mij schreef hoe jammer hij het vond dat wij (het bewuste echtpaar wiskundigen) niet aanwezig waren geweest op een recente bijeenkomst, want dat hij er zo naar uitkeek met ons te praten. Ik antwoordde prompt (in het Frans dan) "Laat het daar niet aan liggen! Zeg maar waar en wanneer, het mag ook bij ons thuis zijn." Hierop heb geen antwoord ontvangen, wat de elektronische (en onbeleefde) versie is van een gegeneerd zwijgen.

Voor vreemdelingen en naïeve Vlamingen is de vuistregel dus: als iemand in België u zegt "u moet eens komen" dan betekent dat gewoon het tegendeel. Deze rituele zin, die de indruk van een uitnodiging wekt maar bedoeld is om u weg te houden, is de verbale tegenhanger van het Clinton-manoeuvre, waarover u hier meer kunt lezen.   

Toegevoegd 13 augustus 2024. Stella van Jan de Hartog dateert uit 1950 en speelt zich af in Engeland tijdens de tweede wereldoorlog. Daarin trof ik het volgende aan.

Toen ik afscheid van haar nam en haar bedankte voor het jasje, glimlachte zij vriendelijk en zei ‘Kom eens een avond bij ons eten.’ Ik kende de Engelsen toen al voldoende om te weten dat dit niets te betekenen had, tenzij zij er datum en uur bij noemde. Ik besloot daaruit dat ik niet in haar smaak gevallen was.

Ook in Engeland betekent (of betekende) de beleefdheidsformule 'je moet eens komen eten' dus blijkbaar niets, of zelfs het tegendeel van wat gezegd wordt!

 

Morley's Miracle — Yet Another Simplest Proof

(Compare here.) 

We use the rule of sines (if R is the circumradius, the side facing angle a is 2R sin a) and two more elementary facts.

Property 1.

Property 2. If we have the situation of the first triangle below (k some positive constant), then the blue elements are uniquely determined 

and likewise for

Verification of the first case: consider the third triangle, which has angles a,x,y and circumradius R. It is similar to the first triangle, because the angle a is common to both and the adjacent sides are proportional. Hence, the angles in the first triangle are also a,x,y and the rule of sines implies that its third side is k (sin a). Similarly for the second case.

To obtain Morley's trisectors theorem there is nothing more to do than to fill in successive elements in triangles. R is the circumradius of the triangle and we abbreviate 8R sin x sin y sin z to x y z.

In black: the primary data on trisected angles and, by the rule of sines, the sides 2R sin(3a), 2R sin(3b), 2R sin (3c) expressed by Property 1.

In blue: sides implied by the rule of sines. Consider for instance the lowest placed triangle. The black angle and side show that a side is obtained by multiplying the angle by 8R sin a sin a⁺. Hence the blue sides.

In red: sides and angles implied by Property 2. Consider for instance the highest placed triangle. We have the situation of Property 2, with k=8R sin b sin c and a+b⁺+c⁺=180°. Hence the red angles and sides, forming Morley's equilateral triangle.

Note that the proof is straightforward, moves from the data to the solution and requires no computation. Also, it results in a geometric configuration that is completely solved (every segment and angle determined). 

The usefulness of this approach is illustrated by considering an outer Morley triangle, obtained by trisecting one interior and two exterior angles.

The only difference with the previous proof is, that the second case of Property 2 also occurs. Such is the case in the highest placed blue-sided triangle, where k= 8R sin a sin b^-  and c^-+a^-+(180°-b⁺)=180°, and in the lowest triangle right, where k= 8R sin a sin c^-  and b^-+a^-+(180°-c⁺)=180°.