Artistieke wiskunde: opus VII — MOLS 10

Literatuur:

[E] Leonhard Euler, Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques, Verhandelingen uitgegeven door het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen, 9 (1782), 85-239

[G] Martin Gardner, How three modern mathematicians disproved a celebrated conjecture of Leonhard Euler, Scientific American, November 1959, 181-187

[K] Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4A / Combinatorial Algorithms, Part 1 (2011), 3-7

[P] E.T. Parker, Orthogonal Latin Squares, Proceedings of the National Academy of Sciences, 45 (1959), 859-862

*

Euler, geconfronteerd met de vaststelling dat er geen orthogonale Latijnse vierkanten van orde N=2 bestaan en dat hij er geen kon vinden van orde N=6, heeft het vermoeden geuit dat er geen bestonden van orde N=4-voud + 2. In 1957 werd vruchteloos gepoogd om met bruut computergeweld een orthogonaal exemplaar te vinden bij een bepaald Latijns vierkant van orde N=10. Twee jaar later evenwel realiseerde Parker een dubbele doorbraak: hij vond langs wiskundige weg het eerste orthogonaal paar van orde N=10 (zie [P]), en bracht met een nieuwe techniek de eerder geaborteerde computerpoging tot een goed einde. (Het hele verhaal in [G] en [K].) In [G] wordt Parkers exemplaar van MOLS 10 als volgt gegeven:

De linkse cijfers vormen het eerste vierkant, de rechtse cijfers het tweede. Een kleurenvoorstelling vraagt dus 10 kleuren voor het ene vierkant en eveneens 10 (eventueel dezelfde) voor het tweede vierkant. Doorgaans beeldt men beide boven elkaar af, met kleinere vakjes voor het tweede vierkant. Hieronder een dergelijke afbeelding.

Een symmetrische kleurvoorstelling, met een "links" en een "rechts" vierkant i.p.v. een "groot" en een "klein", zou de 100 vakken stuk voor stuk halveren in een linkse en een rechtse rechthoek. De praktische realisatie vraagt dan het inkleuren van 200 rechthoeken in 10 verschillende kleuren. Men kan evenwel een oplossing bedenken, die zowel de gekleurde oppervlakte als het aantal kleuren halveert. In acryl op canvasplaat uitgevoerd ziet het er zo uit:

De oorspronkelijke 100 vakken (van elkaar gescheiden door dikkere zwarte lijnen) zijn stuk voor stuk in 4 kwadranten verdeeld. De helft van de 400 kwadrantjes is wit gebleven, en de 200 overblijvende zijn uitgevoerd in 5 kleuren: violet, blauw, groen, geel, rood.

Vergelijkt men de eerste rij van het cijfervierkant met de eerste rij van ons kleurenvierkant, namelijk:

dan wordt de kleurencode duidelijk: linkse 0 = violet bovenaan, rechtse 0 = violet onderaan, linkse 1= blauw bovenaan, rechtse 1= rood bovenaan, enzovoort. De code is zo gekozen dat (zoals in de voorafgaande artistieke MOLS) de kleuren bovenaan zo geordend mogelijk getoond worden, hier afwisselend een strook bovenaan en een strook onderaan.

De verificatie van het orthogonaal karakter berust dan hierop, dat alle 100 vakken verschillend zijn, en dat in elke rij en elke kolom (van de 10) elke kleur 1 keer in elk kwadrant voorkomt.

Met meer schilderwerk door het zwaardere zwarte kader, en moeizamer schilderwerk door de kleinere kwadranten, zou men een soort glasraam-effect kunnen creëren zoals hieronder (dit is een ander cijfervierkant en een andere kleurcode):

In deze uitvoering is duidelijk te zien dat het 3x3-vierkant in de rechter benedenhoek op zichzelf een MOLS 3 is. Dat is in elk van de hierboven getoonde orthogonale vierkanten het geval.

Artistieke wiskunde: opus IV — Eulers 36

Euler zelf (artikel hier) heeft ons in 1782 het probleem van MOLS 6 opgegeven in de gedaante van "het vraagstuk van de 36 officieren". Een uitgebreide versie van dit vraagstuk gaat als volgt. De keizer zal een inspectie uitvoeren bij een legerafdeling van 6 regimenten, waarin officieren in 6 rangen voorkomen. Men kiest uit elk regiment 6 officieren van alle rangen, en men wil die 36 opstellen in een vierkant, op zo'n manier dat de keizer, welke rij of kolom hij ook uitkiest, altijd de 6 rangen en de 6 regimenten vertegenwoordigd zal vinden. Dat het probleem onoplosbaar is beweerde Euler al zonder bewijs, en Tarry heeft dat in 1900 inderdaad bewezen (artikel hier).

Euler gebruikt als "linkse" cijfers Latijnse letters a,b,c,d,e,f en als "rechtse" Griekse letters α, β, γ, δ, ε,ζ. (Vandaar heten orthogonale Latijnse vierkanten ook "Grieks-Latijnse vierkanten".) Als voorbeeld van een mislukte opstelling geeft hij

daarbij de tekortkomingen aanstippend: bζ en dε komen elk twee keer voor, en bε en dζ ontbreken. Met cijfers 0,...,5 genoteerd is Eulers vierkant hieronder links te zien; rechts het resultaat van:  kolommen 1 en 2 omwisselen, dan kolommen 4 en 6 omwisselen en ten slotte rij 3 onderaan plaatsen. De afwijkende dubbele vakjes komen hierdoor op de hoeken te staan.

"Gedeeld" ingevuld met kleuren zwart, violet, blauw, groen, geel en rood (de kleur is doorgaans verschillend naargelang het cijfer links dan wel rechts staat) ontstaat

De kleuren bovenaan zijn geordend volgens 'warmte': eerst zwart, en dan de regenboog van violet tot rood. Elke kleur komt in elke rij en elke kolom 1 keer links en 1 keer rechts voor, zodat elk van de kleuren 1/6 van het geheel vult. De effen rode en zwarte vierkanten komen dubbel voor en zijn om die reden manifest op de hoeken geplaatst. Daarentegen komen de gedeelde vierkanten

niet voor. De tekortkoming is subtiel en het eindresultaat, hoewel onvolmaakt, is niet zonder esthetische verdiensten. Zoek niet naar het wegwerken van de feilen, dat is onmogelijk.

Om op de keizer terug te komen, hij ontmoet in elke rij en elke kolom wel degelijk 1 officier van elk regiment, maar twee van de oorspronkelijke 36 vallen uit de boot: de zwarte officier van het rode regment en de rode officier van het zwarte regiment. In hun plaats zijn een extra rode officier van het rode regiment en een extra zwarte van het zwarte regiment opgesteld!

Hieronder: mijn opus 4, "Eulers 36", aan de muur.

Artistieke wiskunde: opus III — MOLS 5

Een Latijns vierkant van orde N is een NxN-matrix waarin elk van de N getallen {1,2,...,N}  N keer voorkomt, 1 keer in elke rij en 1 keer in elke kolom. De vierkanten kunnen ook op andere wijze onderscheiden worden dan met getallen, bijvoorbeeld door vormen of kleuren. Hieronder een Latijns vierkant van orde 6.

 Twee Latijnse vierkanten van orde N heten (onderling) orthogonaal als zij de volgende eigenschappen hebben: noteert men in een NxN-matrix op elke plaats het koppel bestaande uit het element van het eerste en het tweede vierkant op die plaats, dan zijn alle N² koppels verschillend (of, wat hetzelfde is, alle koppels komen voor).

Anders bekeken: in elke rij en in elke kolom komt elk van de getallen 1,...,N 1 keer links en 1 keer rechts voor, en alle koppels zijn verschillend (of, wat hetzelfde is, alle koppels komen voor). Als N niet groter dan 10 is kan men elk van de Latijnse vierkanten vullen met N cijfers (nl. 0,1,...,N-1=M) en twee orthogonale vierkanten van orde N vindt men dan door de NxN getallen

00,01,...,0M,
10,11,...,1M,
...,
M0,M1,...,MM

zo te herschikken dat elk van de cijfers 0,...,M in elke rij en in elke kolom 1 keer links en 1 keer rechts voorkomt.

Een aantal Latijnse vierkanten van orde N heet (onderling) orthogonaal als elk tweetal orthogonaal is. De standaardafkorting is MOLS (Mutually Orthogonal Latin Squares). In 1782 heeft Euler aangetoond dat er MOLS bestaan van elke orde N behalve voor N even maar geen viertal. (Het hele artikel hier.) Voor N=2 bestaan er zeker geen. Voor N=6 heeft Euler er geen kunnen vinden, en in 1900 heeft Gaston Tarry bewezen dat er inderdaad geen MOLS 6 bestaan. (Het hele artikel hier.) Euler had het vermoeden geuit dat er geen MOLS bestonden als N=viervoud+2, maar dat vermoeden is in 1958 totaal weerlegd: er bestaan MOLS voor alle N behalve 2 en 6.

Als N>2 een priemgetal is dan bestaan er, op symmetrieën na, exact N-1 MOLS van orde N. Voor N=5 zijn dat er dus 4. Hier (p. 47) worden ze met gebruik van de 5 getallen 0,1,2,3,4 opgesomd als

In een 5x5-matrix kan men dus op elke plaats een geordend viertal noteren, bestaande uit de getallen die op die plaats voorkomen in de 4 opeenvolgende vierkanten. Bijvoorbeeld: op de laatste rij en laatste kolom van die 5x5-matrix  komt het viertal (3,2,1,0) te staan, dat men ook zou kunnen noteren als

 M.b.v. vijf kleuren (kleur0, ..., kleur4) kan men dit vierkant de gedaante geven van een gekwartileerd wapenschild. (N.B. Ook Tarry gebruikt in zijn bewijs heraldische terminologie voor zijn 'families'.) Op die manier ontstaat een schikking van 25 gekwartileerde wapenschilden. Met als kleuren 0,1,2,3,4: zwart, violet, blauw, groen, rood en verkreeg ik

Voor de technische uitvoering heb ik mijn arsenaal POSCA-acrylstiften aangevuld met een pen Uni-ball SIGNO broad (Pigment Ink, UM-153 white), waarmee ik dekkende witte lijnen trok bovenop de acryl. Hieronder mijn afgewerkt opus 4, "4 MOLS 5" (de 4 MOLS van orde 5), aan de muur.

De vier MOLS 5 oplossingen laten zich hier gemakkelijk en symmetrisch tot een geheel verwerken door ze als kwartieren van een vierkant in te kleuren. Doorgaans beeldt men twee gesuperponeerde latijnse vierkanten af door de vakjes van het ene vierkant verkleind te projecteren bovenop de vakjes van het andere, zoals

Of men gebruikt voor de twee vierkanten verschillende codes, b.v. vormen voor het ene en kleuren voor het andere. Deze oplossingen doen de fundamentele symmetrie tussen de twee orthogonale vierkanten teniet. Het gaat immers niet om een groot vierkant en een klein vierkant, maar om een "links" en een "rechts". De definitie van orthogonaliteit gebruikt terecht koppels, bestaande uit een links en een rechts getal. De grafische vormgeving bestaat dus logischerwijze uit een naast elkaar geplaatste linker- en rechterhelft. In de heraldiek heet dat "parti" ("gedeeld"). Als beide helften dezelfde kleur hebben verdwijnt uiteraard het gedeeld karakter; het wapenschild is dan "plain" (effen).

Er bestaat veel literatuur en er circuleren vele illustraties i.v.m. MOLS. Nuttige websites zijn bijvoorbeeld te vinden hier en hier.

* 

Beknopte legenda

Opus III. MOLS 5.

De 4 orthogonale vierkanten (MOLS, Mutually Orthogonal Latin Squares) van orde 5, namelijk

zijn boven elkaar geplaatst met de de elementen van de vier opeenvolgende vierkanten respectievelijk linksboven, rechtsboven, linksonder, rechtsonder.  Het ontstane vierkant van vierkanten, namelijk  

is ingekleurd met

0 = zwart, 1 = violet, 2 = blauw, 3 = groen, 4 = rood.

Artistieke wiskunde: opus II — Goldbach in 4 kleuren

In dit project wordt het (alsnog onbewezen) vermoeden van Goldbach geïllustreerd: elk even getal vanaf 4 is de som van 2 priemgetallen. Sommige getallen hebben meer dan 1 dergelijke ontbinding, b.v. 10=3+7=5+5. In die gevallen heb ik gekozen voor de eerste ontbinding die men door systematisch proberen zou vinden, d.w.z. die met de kleinste eerste term: 10=3+7, dus. De eerste term is dus systematisch 'klein', en de tweede relatief 'groot'; bovendien hebben twee opeenvolgende even getallen vaak de eerste of de tweede term in die ontbinding gemeenschappelijk. Dit maakt de meeste ontwerpen nogal saai, met lange 'strepen' van aaneengrenzende gelijkgekleurde vierkanten. Bovendien ontstaan vanzelf driehoekige vormen die overdreven veel van het canvas wit laten. Deze visuele nadelen bleven bestaan ook als ik de oneven getallen mee in de voorstelling betrok. Als het vermoeden van Goldbach waar is, dan is elk oneven getal vanaf 7 de som van drie priemgetallen waaronder zeker 3 voorkomt. (Inderdaad, als dat getal N is, dan is N-3 een even getal dat minstens 4 is, en waarop dus Goldbach van toepassing is.) De afwisseling even/oneven zorgt wel voor wat extra variatie, want de ontbinding bevat afwisselend 2 en 3 priemgetallen, maar ook hier bleef het canvas slecht 'gevuld'. 

Uiteindelijk is het volgende ontwerp uitgevoerd.

Centraal blijven twee vierkantjes ongekleurd, voorstellende het even getal 2 waarop Goldbach niet van toepassing is. Alle grotere even getallen t.e.m. 26 zijn voorgesteld als 'winkelhaken' geschikt omheen de witte rechthoek, en elk van die getallen bestaat uit twee stukken van een verschillend kleur, aan elkaar gezet met een verbindingsstukje 'van het een in het ander' zoals dat in de heraldiek heet. De kleinste winkelhaak bestaat uit de paarse rechthoek links van 2 en de zwarte rechthoek onder 2. Die winkelhaak is de voorstelling van de Goldbachpartitie 4=2+2. De volgende winkelhaak bestaat uit groen rechts van 2, en blauw boven 2, en stelt voor: 6=3+3. Daarop volgt 8=3 (zwart)+5(blauw) enzovoort. De grootste winkelhaak bestaat uit groen (bovenaan en rechts) + blauw (rechtsonder), zijnde 26=3+23.

Ik heb maar vier kleuren gebruikt, wat niet helemaal triviaal is maar hier toch relatief gemakkelijk. De primaire kleuren rood, geel en blauw heb ik vermeden omdat daarmee, in combinatie met zwart en wit, in de figuur vlaggen van Europese landen ontstaan die onverantwoorde aandacht trekken. De huidige nogal donkere configuratie heeft bovendien het voordeel dat een soort diepteperspectief opgeroepen wordt met in de verte een lichtgevend vlak.