Coolsaet, moslims en everzwijnen

Radio- en TV-loos levend ken ik professor Rik Coolsaet slechts via derden.

Deze hoogleraar van de Gentse Universiteit (links, niet te verwarren met professor Kipping, een creatie van Koot & Bie, rechts) wordt blijkbaar vaak opgevoerd als deskundige in internationale problemen, wat zijn vakgebied is. Preciezer gezegd: geworden is. Van vorming is hij Germanist (K.U.L.,1974) en van beroep was hij links activist, o.m. als medestichter van uitgeverij Kritak en cabinetard. Een diplomatieke glansprestatie leverde hij in 1991, toen hij als adjunct-kabinetschef van de Waalse socialist Guy Coëme (nadien veroordeeld voor corruptie en ontzet uit zijn politieke en burgerrechten) ervoor zorgde dat België weigerde munitie te verkopen aan de Britten. Ook van de Vlaamse socialist Willy Claes (nadien veroordeeld voor corruptie en ontzet uit zijn politieke en burgerrechten) was Coolsaet de rechterhand. Kortom, een man met adelbrieven, die niet onopgemerkt kon blijven. In de jaren negentig werd hem een binnenweg naar een academische carrière aangeboden door de toenmalige decaan van de pol-en-soc. Op een recordtijd van twee jaar schreef hij een doctoraat bij elkaar en werd prompt benoemd, in 1997. Een late roeping, zeg dat wel, want Coolsaet was toen al 46. Tot aan zijn pensioen, in 2015, doceerde hij Internationale Betrekkingen aan toekomstige ex-pol-en-soc'ers. (Hier en hier meer over de man.)

Nodeloos te zeggen dat de Vlaamse pers in professor Coolsaet de geknipte persoon vindt om links activisme een academisch vernislaagje te geven. Met de baret van terreurexpert op het hoofd staat hij dus onversaagd op de bres voor het nieuw-linkse troetelkind, de islam, dat ten allen prijze verdedigd moet worden tegen het 'populisme' van arbeiders, kleine gepensioneerden en meer van die 'gewone mensen' die al lang uit het dogmatisch linkse kamp weggelopen zijn.

Deze professor Coolsaet nu ziet het als zijn taak de wereldwijde moslimterreur zoveel mogelijk te minimaliseren. Aan lvb.net (zeer betrouwbaar en goed gedocumenteerd) ontlenen wij de volgende citaten:

Islamitische Staat, [...] dat is toch niet voor ons een bedreiging! Kijk naar de cijfertjes. Hoeveel doden zijn er gevallen door politiegeweld, in de afgelopen 20 jaar, en vergelijk dat met het aantal doden door aanslagen door jihadistische groepen. (13 augustus 2015)

en

Het is misschien een heel domme of dwaze vergelijking, maar de afgelopen tien jaar zijn er meer Belgen omgekomen in een botsing op de autowegen in Wallonië met everzwijnen en herten, dan in terroristische aanslagen. (14 november 2015)

Aldus professor Coolsaet, volgens wie politie en everzwijnen dus dodelijker zijn dan moslims. We laten iedereen zelf oordelen over de morele kwaliteit van deze immorele vergelijking van onvergelijkbare vormen van geweld. Wel zullen wij nagaan of de heel domme/dwaze vergelijking door de feiten gestaafd wordt, zoals men van een professor (zelfs in de pol-en-soc) zou mogen verwachten.

In dit artikel van Le Soir uit 2012 vinden wij de gezochte cijfers voor wildongevallen in de titel samengevat: 10 doden en meer dan 700 gewonden in vijf jaar tijd. In de periode 2005-2015 ('de afgelopen tien jaar') moeten dat er ongeveer 20 geweest zijn. Aan de kant van de moslimterreur tellen wij (afgaande op dit overzicht) ongeveer 10 'Belgische' slachtoffers (6 in Luik 2011, 4 in Brussel 2014, 1 in Tunesië 2015). Een precieze telling is moeilijk doordat we niet altijd weten wat de nationaliteit(en) van de slachtoffers zijn. Dus ja, de afgelopen tien jaar [2005-2015] zijn er meer Belgen omgekomen in een botsing op de autowegen in Wallonië met everzwijnen en herten, dan in terroristische aanslagen. Het vermoeden is gerechtvaardigd dat de geciteerde periode [2005-2015] precies gekozen is om het te doen kloppen. Vervang 'tien' door 'vijf', en het klopt niét meer. Reken maar na: ongeveer 10 door terreur, ongeveer evenveel —maar niet méér— door everzwijnen. En de categorieke professor Coolsaet (ISIS? geen bedreiging voor ons!) kon niet voorzien dat ISIS-gelieerde moslimterreur nauwelijks vier maand later (Zaventem, maart 2016) de balans totaal zou doen omslaan, met 32 dodelijke slachtoffers, het equivalent van 16 jaar herten en everzwijnen. Natuurlijk, de professor beperkte zijn populistische beeldspraak voorzichtigheidshalve tot Belgische slachtoffers, en dat waren er in Zaventem 'maar' 17. Bekijken we vandaag de 'afgelopen tien jaar', dan tellen we voor die periode [2007-2017] dus 27 'Belgische' slachtoffers (10 vóór + 17 ná Zaventem), wat overeenkomt met 13 à 14 jaar wildongelukken. Hiermee is die negationistische prietpraat, ook al was zij in 2015 naar de letter correct, afdoende weerlegd.

Met excuus aan herten en everzwijnen, die onschuldig zijn aan het feit dat zij in hun eigen habitat door zonevreemde voertuigen opgeschept worden.

*

*    *

Het A4-formaat van de oudheid tot nu

Het genormeerde papierformaat waartoe het A4'tje behoort is een wonder van elegantie en logica. Het uitgangspunt is zeer rationeel: de verhouding tussen de afmetingen blijft dezelfde als men het blad zo dubbelvouwt dat de langste zijde gehalveerd wordt. Is h de hoogte en b de breedte, dan is de vereiste dus: h/b=b/(h/2), waaruit volgt h²=2 b², m.a.w. h=b√2. Bij elk blad uit de serie is de hoogte dus gelijk aan de breedte vermenigvuldigd met √2, wat ongeveer 1,4142 is. Om het helemaal te normeren wordt het beginblad A0 zo gedefinieerd dat zijn oppervlakte 1 m² is. Die oppervlakte is h²/√2, en als dit 1 m² is, dan is h=2^1/4 m en b=2^-1/4  m, zijnde (op de dichtste mm afgerond) 1189 mm en 841 mm. De serie wordt voortgezet met A1 (1 keer dubbelgevouwen), A2 (nog een keer gevouwen, dus in het totaal 2 keer), enzovoort. Voor dagelijks gebruik: A4 is een A0-blad dat 4 keer gevouwen is, bijgevolg met oppervlakte 1/16 van een vierkante meter. Zijn hoogte is 2^1/4/(√2)⁴, zijnde 297 mm, zijn breedte 2^1/4/(√2)⁵, zijnde 210 mm.

Het systeem is prachtig door de combinatie van een rationele wiskundige vereiste (verhouding blijft onveranderd bij dubbelvouwen) met de rationele lengtemaat 'meter', die zeer logisch uit de omtrek van de aarde afgeleid is. Ook de nummering is zeer doorzichtig: het cijfer bij de A geeft aan hoeveel keer het oorspronkelijke blad gevouwen is. Vergelijk dat eens met het middeleeuwse systeem dat in de Angelsaksische landen in gebruik is (...en dat bijgevolg ook de computerwereld teistert met zijn duimen). Wat de letter "A" betreft: naast A0 bestaan ook nog B0, C0 en D0, alle verder onderverdeeld.

Het A-formaat gebaseerd op √2 werd aanvankelijk als onesthetisch beschouwd, maar ik geloof niet dat iemand vandaag dat nog vindt. Dat vond men in de oudheid en in de renaissance evenmin, want het is het enige irrationale formaat dat vernoemd wordt naast de eenvoudige rationale formaten die de voorkeur hadden. Om meteen maar de grootste autoriteit te citeren: Vitruvius (Boek VI, Hoofdstuk III, 3) vernoemt drie afmetingen voor een atrium, met verhoudingen respectievelijk 3:2, 5:3 en √2:1. En zo komt het dat men het A4-formaat kan aantreffen in 1521, in de Vitruviusuitgave van Cesariano. Hieronder v.l.n.r. de formaten 5:3, 3:2 en √2:1 a.k.a. A4.

En de grote Palladio vernoemt zeven vormen voor kamers: behalve de cirkelvorm en het vierkant ook nog rechthoeken in de verhoudingen (van klein naar groot)

1:2, 3:5, 2:3, 1:√2, 3:4

Het blijkt dat √2:1 de enige irrationale verhouding is die in de renaissance gepropageerd werd, zonder twijfel omdat het de enige is die bij Vitruvius voorkomt. (Wittkower 1960, hier.)

Tot de talloze misverstanden rond de gulden snede behoort ook de mening dat het A4-formaat erop berust. Om daar in te tuinen is vereist dat men √2 niet kan onderscheiden van (√5+1)/2. Hieronder een fraai voorbeeld. 

Het is overigens niet altijd domheid waardoor men √2 met (√5+1)/2 identificeert. Sommige mensen zijn, à la Zeising, zo overtuigd van de gulden mythe, dat zij de werkelijkheid graag plooien tot zij (ongeveer) past—wat altijd lukt, want alles is 'ongeveer de gulden snede'. Zo schreef in 1970 iemand, zich het onderscheid tussen beide realiserend: this rectangle [A4] is not seriously different in shape from the golden rectangle. Tja. Dezelfde krachttoer heeft iemand in 1992 ook uitgehaald met √3, dit getal (0,73...) beoordelend als fairly near in value to the golden section. [Beide in Albert van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras p. 382] Nu we toch over 'wishful thinking' bezig zijn: in De geheime code van Priya Hemenway (Nederlandse vertaling) vernemen we (p.11) 

De gulden snede komt al voor in de verhalen van het Oude Testament. In Exodus 25:10 beveelt God Mozes om de Ark des verbonds te bouwen [hier volgt het bijbelcitaat]. Deze maten leveren een vorm in de exacte verhouding van de gulden snede.

De opgegeven maten zijn 1,5 x 1,5 x 2,5, zijnde 3:3:5. De goddelijke voorkeur gaat dus uit naar 3/5, ook bij Vitruvius en Palladio geliefd, maar allerminst de gulden snede!

Om terug te keren naar A4. De definiërende vereiste is, dat men de verhouding terugvindt als men de rechthoek dubbelplooit. Dat lijkt mij visueel veel sprekender dan de gulden vereiste dat men de verhouding terugvindt als men van de rechthoek het grootst mogelijke vierkant afknipt!

*

*   *

Adolf Zeising, uitvinder van de mythische Gulden Snede

Als esthetisch ideaal is de gulden snede geen erfenis van de oudheid, maar een uitvinding van de Romantiek. [Albert van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras, achterplat.] Inderdaad, dit wereldwijd succesnummer is een 19de eeuwse Duitse uitvinding, getekend: Adolf Zeising. Zeising had letterkunde en (Hegeliaanse) wijsbegeerte gestudeerd, en was gymnasiumleraar alvorens hij van zijn pen kon leven. Hij schreef proza, poëzie en toneelstukken, en publiceerde daarnaast ook over de meest uiteenlopende onderwerpen. In 1854 vond hij dus de gulden snede uit. Hij zegt het zelf, want zijn boek (hier te consulteren) heet in vertaling:

Nieuwe leer over de verhoudingen van het menselijk lichaam, ontwikkeld uit een morfologische basiswet die men tot nu toe niet onderkend had, en die de hele natuur en kunst doordringt.  

Die 'morfologisch basiswet' is de verdeling volgens de gulden snede. Kepler had eerder al de rij van Fibonacci (en dus onvermijdelijk ook enigszins de gulden snede) in verband gebracht met de levende natuur, maar Zeising maakt er echt een allesomvattend principe van. Hij verdient daarmee de titel van uitvinder, want in de voorafgaande millennia (Kepler misschien enigszins uitgesloten) was de gulden snede iets louter wiskundigs geweest. Pacioli's boek De goddelijke verhouding ging over (pompeus ingeklede) wiskunde, en ook de flatterende benaming gulden snede duikt voor het eerst op in een vroeg-18de eeuws Duits boek van wiskunde. Dat alles verandert dus met Zeising.

Zeisings uitgangspunt is, zoals uit zijn titel blijkt, het menselijk lichaam. Hij kon daarvoor aansluiten bij de Romeinse architect Vitruvius, die als eerste geponeerd had dat "het" menselijk lichaam (de hoogste creatie in de schepping) gekenmerkt wordt door eenvoudige verhoudingen, en dat hetzelfde moet gelden voor menselijke bouwwerken, in het bijzonder tempels. Voorbeelden of argumenten geeft Vitruvius niet, behalve dan dat de (toenmalige) maten "el", "voet", "duim" enzovoort afgeleid zijn van het menselijk lichaam. Erg overtuigend als universele maatstaf is het niet, vooral als men bedenkt dat elke stad haar eigen "voet" had. In elk geval, in kringen van Hegeliaanse filosofen was de mens als schoonheidsideaal (eerder dan als geëvolueerd viervoetig zoogdier) in 1854 blijkbaar nog een evidentie. Zowel bij Vitruvius als bij Zeising gaat het om een ideaal lichaam, waarvan Griekse marmeren atleten de beste benaderingen vormen. Beiden nemen de totale lichaamslengte, van de voetzolen tot de kruin, als lengte-eenheid. Bij Vitruvius zijn alle verhoudingen eenvoudige breuken. In zijn beschrijving van het lichaam vernoemt hij: 1/10, 1/8, 1/6, 1/4, 1/3. Da Vinci, die de Vitruviaanse man zijn meest perfecte vorm gegeven heeft, gebruikt daarbij ook nog 1/7 (o.m. voor de voet, waar Vitruvius 1/6 had), en 1/14.

Vitruvius beschouwt de navel als het middelpunt van een mens die met de armen en benen uitgestrekt neerligt. Details geeft hij niet, en de positie van de navel mogen we niet vernemen. Latere commentatoren van Vitruvius, die zijn duister proza met een tekening willen verduidelijken, situeren de navel op een hoogte van 3/5. Da Vinci specificeert de navel evenmin, maar uit de analyse van zijn cirkel blijkt dat die op een hoogte 0.60622... ligt, ongeveer 1/160 boven de "simpele" 3/5.

De canon van Vitruvius is natuurlijk gebaseerd op observaties van "het" menselijk lichaam, maar het blijft een meetkundige idealisering, waar hoogstens tekenaars en beeldhouwers enige praktische vuistregels kunnen uit halen. Voor, bijvoorbeeld, de navel: op 3/5 van de hoogte of 1 handlengte boven de pubis. Zelfs Da Vinci, die een meetkundige krachttoer wil uithalen door zijn man-in-een-cirkel bovenop zijn man-in-een-vierkant te tekenen, wijkt daar maar uiterst weinig van af. Wie die krachttoer niet wil overdoen blijft het best bij 3/5=0,6 als vuistregel. Vindt men dat te laag of wil men het ingewikkelder maken, dan 5/8=0.625. Vindt u dat te hoog, neem dan het gemiddelde van beide, 49/80=0,6125. (Dit is 5/8-1/80, en zou goed te construeren zijn in het 8x8 rooster dat voor Da Vinci volstond.) Wilt u het echt zeer ingewikkeld maken, dan (√5-1)/2=0,61803... Dat laatste heeft Zeising dus gedaan.

Zijn eenheid (de lichaamshoogte) wordt verdeeld met de gulden snede (wat de navel oplevert), waarna beide stukken opnieuw verdeeld worden met de gulden snede en zo een aantal keer verder. Door voldoende onder te verdelen en te combineren kan men bij benadering gelijk welke lengte in dat systeem terugvinden. Dat is trouwens met elke maatstaf zo. Met de meter als eenheid en een herhaalde onderverdeling in 10 drukt men toch ook elke lengte zo nauwkeurig uit als men wil? Bij Zeising gaat het dus met machten van φ. Wegens de kenmerkende eigenschap φ²=1-φ kunnen alle machten van φ uitgedrukt worden in de gedaante a+bφ (zie tabel hieronder). Zeising drukt zijn lengten uit in duizendsten van de hoogte, die dus per definitie "1000" eenheden telt. Hij heeft alle getallen naar beneden afgerond, behalve 0.00467... waar hij 5 (een Fibonaccigetal!) van maakt. In de eerste drie kolommen hieronder is elk getal het verschil van de twee die erboven staan. Voor de cijfers in de vierde kolom klopt dat, door de afrondingen, niet overal. Ondanks Zeisings ingreep in het laatste getal (5 i.p.v. 4) bevat de laatste kolom maar voor de helft Fibonaccigetallen: 5, 8, 13, 21, 34, 55 zijn het wel, maar vanaf 90 loopt het mis.

In 1854 werd de Vitruviaanse man dus herboren als de Zeisingiaanse man, hieronder te bewonderen met alle verticale maten erbij. Hoe meer naar rechts, hoe verder de onderverdeling is doorgevoerd en hoe kleiner de getallen zijn die Zeising uit de bovenstaande tabel haalt.

In de onderstaande tabel geven we de maat van enkele lichaamsonderdelen volgens Vitruvius en volgens Zeising. (Bij Zeising vraagt dat enig rekenwerk: optellen en machten van φ herleiden.)

Als theoretisch model zijn beide even verdienstelijk, want 0.125 of 0.12454 zijn even goed als schatting voor de grootte van "het" mensenhoofd (dat in werkelijkheid in alle uiteenlopende maten en vormen voorkomt). Vitruvius, met zijn eenvoudige breuken, levert praktische vuistregels maar Zeising is eleganter doordat zijn maten—mits wat gepuzzel—in een samenhangend systeem passen, en niet zoals bij Vitruvius uit de lucht komen vallen.

Zeising drijft zijn normeringsdrift wel zeer ver. Hieronder, bijvoorbeeld, de voet.

Veel erger is, dat hij in zijn arbitrair normsysteem een universele wet ziet, die de hele natuur en kunst doordringt zoals het in zijn titel staat. Als bepaalde mensenrassen niet aan de wet voldoen, dan is dat doordat de natuur, in haar streven naar het gulden ideaal, ofwel nog niet ver genoeg gevorderd is ofwel over haar doel geschoten is, wat naderhand nog bijgestuurd moet worden. Het klinkt (en is) ongelooflijk onnozel, maar zo staat het er echt (p.310). Ook moet men de dingen niet alleen bij het juiste ras, maar ook op het juiste moment observeren. Een kind voldoet namelijk nog niet, en een grijsaard niet meer aan de Wet van Zeising, en ook de oudheid was perfecter dan de moderne tijd.

De universele Wet van Zeising beschrijft het mensenlichaam in alle details van kop tot teen, ook zijdelings en in de breedte, en omvat daarnaast evengoed planetenbanen, de vorm van de continenten, planten en dieren. Hieronder (p. 384) het Gulden Paard.

Ook van de taaie gulden kunstkwakkels heeft Zeising de primeur op zijn naam staan. De eerste standbeelden met z.g. gulden proporties duiken op (p. 279) evenals het gulden Parthenon (lees er hier meer over).

Het boek van 450 bladzijden is enorm grondig uitgewerkt, zowel in de diepte als in de breedte, met een overvloed aan cijfers en tabellen. De reactie Dat kan niet anders dan waar zijn! is goed te begrijpen. Om te ontnuchteren volstaat het, dat men naast de tabellen van Zeising ook zijn mystiek gezwets doorneemt, bijvoorbeeld zijn hilarische theorie over de geslachten. Ja, wist u dan niet dat de man gedomineerd wordt door de zwaartekracht en de vrouw door evenwicht? het mannenlichaam door de bovenste helft en verticale maten, het vrouwenlichaam door de onderste helft en horizontale maten? Meer uitleg bij Adolf Zeising.

*

  

Da Vinci - Homo ad circulum

(Previous episode: Da Vinci - Homo ad quadratum)

Inscribing a man in a circle originates with Vitruvius, who famously wrote:

If a man be placed flat on his back, with his hands and feet extended, and a pair of compasses centred at his navel, the fingers and toes of his two hands and feet will touch the circumference of a circle described therefrom. 

Da Vinci is more explicit than Vitruvius. In fact, he provides us with everything required to complete the drawing. The one sentence he gives contains the following elements (in his words, though not in that order):

1. if you raise your hands enough that your extended fingers touch the line of the top of your head, know that the centre of the extended limbs will be the navel.
2. open your legs enough that your head is lowered by one-fourteenth of your height. 
3. the space between the legs will be an equilateral triangle. 

For the sole circle, without the displaced legs, (1) suffices. Leonardo does not say what the rotation center for the arms is, but after some experimenting one finds that it must be the point which we coloured white in the image below. It is the intersection of two lines already used for the Homo ad Quadratum: the horizontal line of the arms (1/6 below the top), and the line defining the armpit (1/8 off of the central line). Rotating the arm upward until it meets the upper side of the square (white arc below) we obtain a point of the circle. The man's heel is also on the circle, and the center follows from the perpendicular bisector of the chord. The circle fits to perfection, see image below.

To see how nicely the center coincides with the navel, compare these two close-ups: left the raw drawing, right with the center of the circle added as a red dot. If you look very carefully, you'll find a dot left by Da Vinci right there.

We constructed the center of the circle geometrically, and no doubt Leonardo did likewise. We can however also compute the radius. Courtesy of Pythagoras, the equation for the radius x is

yielding

This irrational value is very close to the rational number 3/5+1/160, which is 0.60625. So with Da Vinci the navel sits some 1/160 higher than with the other Vitruvius commentators. The most accomplished of the latter is Claude Perrault (1684). Below is his Homo ad quadratum; the red lines are ours. In the left column you can check the height of the navel: mark 3 in Cinq Parties (five parts) and mark 6 in Dix Parties (Ten parts).

Tiny as it is, 1/160 is easily obtained from the Homo ad quadratum. The distance hairline-top is 1/8-1/10=1/40 and it suffices to construct a fourth of it, which is a trivial matter. Thus the circle with radius 3/5+1/160 (i.e. 97/160) can be constructed entirely with readily available rational entities. Vitruvius would have been pleased! Below is what you get; the twin lines are 1/160 apart. Convincing, no? In my Geogebra view, no difference is observable between the circle with the rational radius and the irrational one.

Summary for the vertical measures:

The circle, one way or another, having been drawn, we turn to (2) to determine the position of the displaced feet. In the close-up below, the white line is 1/14 above ground level:

Indeed, that's where the displaced feet would be if they were on a horizontal plane, facing forward. (Look at the big toe left.)

We are left with observation (3), that "the space between the legs" will be an equilateral triangle. The image below gives one of the possible interpretations of that statement.

The equilateral triangle in yellow sits on the white line at height 1/14. It does more or less fill "the space between the legs", which is determined by the thickest parts of the legs. (Look at the thigh left.)

The craftsmanship displayed by Da Vinci in this drawing is baffling. What an artist!

P.S.1 Common lore has it that the navel in Da Vinci's man is defined by the golden ratio. This claim is easily refuted by any distortion free image (admittedly hard to come by). In the image below we constructed the golden navel GN and the corresponding circle (violet). Way too big! Neither is the navel at height 3/5. We constructed this "simple navel" SN as well, using the 6/5 slope of the segment CN. This time the circle (green) is too small.

P.S.2 For those secretly thinking of squaring the circle: the area of Da Vinci's circle is 1.1545..., some 15% bigger than the square.

P.S.3 It has been suggested that the radius might be (1+√2)/4=0.6036... This makes certainly more sense than the golden ratio, because √2:1 is the only irrational proportion mentioned by Vitruvius, and hence admitted in renaissance architecture. The circle with that radius, however, while being a decent approximation, does not fit, see below. SN is the "silver" navel at height (1+√2)/4, and the circle with that radius is coloured white.

Da Vinci - Homo ad quadratum

The most detailed image of Da Vinci's Vitruvian Man I could find on the internet is this one. (I inquired in Venice about a better one though.) I imported it in Geogebra 5.0, then transformed the image geometrically until the square was as square as possible, with the symmetry (marked by the division in the man's hair) as good as possible. My complete Geogebra file DaVinci.ggb is here at your disposal.

I needed a lot of patient experimenting before I arrived at the above result. If you zoom in deep enough, you'll see that the fit is not perfect. But while you're zoomed in, you could also notice that Leonardo's drawing is not perfect either. Some lines are not exactly where they are said to be, and there is no perfect symmetry between left and right. (BTW, I'll call the arm in the right half the right arm, though it's the man's left.)

To understand an illustration, read the text first. (This simple rule would do miracles in alchemical iconography.) In his text, Da Vinci quotes the Roman architect Vitruvius, who gave simple proportions for the human body. The total height being taken as unit, Da Vinci's proportions, applicable all over the body, are

1, 1/2, 1/4, 1/6, (1/7,) 1/8, 1/10, (1/14) 

where 1/10 is, on one occasion, divided in 3, which amounts to an overall proportion of 1/30. For instance: the arms extended horizontally have length 1, the hand is 1/10, the head (chin to top) 1/8, the face (chin to hairline) 1/10, collarbone to top is 1/6 etc. These numbers are taken from Vitruvius, with the exception of 1/7 (length of the foot, given by Vitruvius as 1/6) and 1/14 (reduction of height if the legs are spread in the appropriate angle). Da Vinci also adds to Vitruvius's list the distance collarbone-hairline, which he gives as 1/7. This number is both redundant and arithmetically wrong. Combining the proportions provided (which we quoted above), one finds this distance to be 1/6-(1/8-1/10), which is 17/120, not 1/7. The latter is a very decent approximation though (indeed, the first convergent in the continued fraction), the difference being 1/840=0.00119…. No doubt Da Vinci was aware that 1/6-1/8+1/10 is not 1/7, so he must have deliberately allowed this tolerance, preferring simple fractions over more complicated numbers (even fractions). This tolerance confirms that, in analysing Da Vinci's Vitruvian, extreme fussiness is unjustified.  

All the proportions required by Da Vinci can be constructed by simple geometry. Halving segments readily provides 1/2, 1/4 and 1/8. The remaining proportions are 1/6, 1/7, 1/10, 1/14 and 1/30. Thanks to Da Vinci's sloppy arithmetic, 1/7 comes for free, and 1/14 is half of this. So, constructing 1/6, 1/10 and 1/30 would do. An 8x8 grid offers plenty of opportunities to do so, and below is one way to proceed. Points on the sides are 1/8 apart. The blue lines and the point A' belong to the grid. The white segment determines B' (1/6 from the top), the yellow one C' (1/10 above the upper blue line), and the green one D' and E', dividing the height 1/10 into three equal parts. Similar right triangles is all one has to look at.

The Homo ad quadratum designed by Vitruvius is composed of simple fractions, and Da Vinci is nothing else but a very accomplished student of the great man. Simple fractions, that's all! (so far)

*

(Continued with Da Vinci - Homo ad circulum.)