17 March 2017

De gulden snede is overbodig

Volgens Kepler (hier) is de gulden snede een klomp goud (de stelling van Pythagoras), die in de fraaie gedaante van een gouden juweel gebracht is. Niettemin schrijft hij op één plaats dat de gulden snede nodig is voor het twaalfvlak en het twintigvlak. Zeer velen blijken er inderdaad van overtuigd te zijn dat de gulden snede onmisbaar is voor de regelmatige vijf- en tienhoek, en voor het regelmatig twaalf- en twintigvlak. Dat is niet zo, zoals hieronder zal blijken.

De gulden snede herleid tot Pythagoras.

Volgens Euclides is een lijnstuk 'verdeeld in uiterste en middelste reden' als het kleinste stuk k en het grootste stuk g voldoen aan

k/g = g/(k+g).

Deze gelijkheid is equivalent met haar omgekeerde,

g/k=1+k/g,

met de notatie k/g=φ is dat

1/φ=1+φ.

Het 'gulden getal' φ kan men dus rekenkundig definiëren als: het enige positieve getal waarvoor 'omkeren' hetzelfde betekent als '1 bijtellen'. De bovenstaande gelijkheid (een vierkantsvergelijking) heeft als oplossing

φ=(√5-1)/2.

Hiermee is de kous eigenlijk al af. Pythagoras levert immers √5 (schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1 en 2), en de rest is opsmuk. Alle meetkundige constructies waarin men de gulden snede gebruikt kan men dus ook uitvoeren met Pythagoras alleen, zonder de gulden snede zelfs te vernoemen.

De regelmatige vijf- en tienhoek.
 
In een regelmatige vijfhoek komen veel gulden verhoudingen voor, met name is dat de verhouding tussen de zijde en een diagonaal. Dat betekent niet dat de gulden snede onvermijdelijk is bij de constructie.



In de regelmatige zeshoek is √3 de overeenkomstige verhouding, maar er zullen er maar weinigen zijn die de zeshoek in een cirkel construeren met Pythagoras (eerst √2 als schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden 1,1 dan √3 als schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden 1,√2, en daaruit de eigenlijke zeshoek). De voor de hand liggende constructie is veel eenvoudiger, want de zijde van de ingeschreven zeshoek is gewoon de straal, en dat volgt niet uit Pythagoras maar uit de eigenschap dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is. Zo ook met de regelmatige vijf- en tienhoek: de gulden snede is latent sterk aanwezig, maar niet onmisbaar bij de constructie.

Stelling. De regelmatige tienhoek is construeerbaar met passer en liniaal.

Bewijs 1 (meetkundig). Verleng de zijde AB van de ingeschreven tienhoek met de lengte ρ van de straal. De hoek aangeduid met 1 heeft als grootte: 36°. Hieruit volgen dan onmiddellijk de hoeken aangeduid met 2,3,4,5,6. Bijgevolg zijn de driehoeken OAB en CAO gelijkvormig, waaruit dan volgt dat AB als lengte heeft: ρ(√5-1)/2.



Bewijs 2 (goniometrisch, vlakke driehoeksmeting). Is α=18°, dan is 2α=90°-3α, dus sin 2α=cos 3α, m.a.w. 2 sin α cos α = 4 cos3α-3 cos α. Na delen door cos α leidt cos2α= 1-sin2α tot een vierkantsvergelijking voor sin α, waaruit als oplossing sin α=(√5-1)/4. Een hoek van 18° (en bijgevolg ook 36°) is dus construeerbaar met Pythagoras.



Het regelmatig twaalf- en twintigvlak. 

Voor het twaalf- en twintigvlak gelden dezelfde bemerkingen als voor de vijf- en tienhoek: de figuren bevatten de gulden snede op vele plaatsen, Euclides voert de constructie inderdaad uit met behulp van de gulden snede, maar dat betekent niet dat zij onmisbaar is.

Stelling. Het regelmatig twintigvlak is construeerbaar met passer en liniaal.

Bewijs 1 (meetkundig).



In de meetkundeboeken voor het middelbaar onderwijs 'van toen' werd het regelmatig twintigvlak in elkaar gezet zonder enige verwijzing naar de gulden snede. (Hier de relevante bladzijden uit mijn eigen schoolboek, uitgegeven in 1959, waaraan ook de bovenstaande figuur ontleend is.)

Bewijs 2 (goniometrisch, boldriehoeksmeting). Met behulp van de hoeken * = 36° en δ=atan2 bepalen we op twee breedtecirkels en tien halve lengtecirkels van een bol twaalf punten aangeduid met 1,2,...,12 (punten 5,6,10,11 aan de achterkant onzichtbaar in de figuur): 



Voor de middelpuntshoek ξ horend bij de boog 3-4 vinden we, m.b.v. de cosinusregel in de boldriehoek 1-3-4:

en voor de middelpuntshoek η horend bij de boog 3-8, m.b.v. de cosinusregel in de boldriehoek 1-3-8:

Bijgevolg is ξ=η=δ. Voor alle andere bogen in de figuur is de toestand symmetrisch en zijn de conclusies dus dezelfde. De twaalf punten 1,2,...,12 zijn dus de hoekpunten van een regelmatig twintigvlak.

Opmerking. Deze constructie maakt enkel gebruik van de hoeken α=18° en δ=atan2, waarvan de eerste met Pythagoras, en de tweede bij definitie construeerbaar is:

α=18°, δ=atan2.


Stelling. Het regelmatig twaalfvlak is construeerbaar met passer en liniaal.

Bewijs 1 (meetkundig).

(Volledige uitwerking in hoger vernoemd schoolboek, hier.)

 Bewijs 2 (goniometrisch, boldriehoeksmeting). De middelpunten van de boldriehoeken gevormd door het regelmatig twintigvlak zijn de hoekpunten van een regelmatig twaalfvlak. 



We bekijken, bij wijze van voorbeeld, de vijf boldriehoeken die hoekpunt 3 gemeenschappelijk hebben. Dat zijn, de nummers van de hoekpunten noemend en hun middelpunt tussen haakjes bijvoegend:

312(A), 314(B), 348(C), 378(D), 327(E).

Deze boldriehoeken hebben even lange zijden. Ze zijn dus congruent, en alle bogen van een middelpunt naar een hoekpunt zullen even lang zijn. [In de figuur zijn vijf van die bogen in streepjeslijn aangegeven.]

De lijnstukken met die eindpunten zijn dus ook even lang, m.a.w., de vijf punten A,B,C,D,E liggen op eenzelfde bol met hoekpunt 3 als middelpunt. Vermits ze ook op de gegeven bol liggen, liggen zij in de doorsnede van die twee bollen, die een cirkel is. De vijfhoek ABCDE is dus een vlakke vijfhoek, ingeschreven in die cirkel.

In de boldriehoek 1-3-4 heeft de hoek met hoekpunt 1 een grootte van 72°, en vermits die boldriehoek gelijkzijdig is, is dat ook de grootte van de andere hoeken van die boldriehoek. Dat geldt eveneens voor de andere congruente gelijkzijdige boldriehoeken. De bogen uit hoekpunt 3 naar de vijf middelpunten vormen, samen met de breedtecirkel en halve lengtecirkel door dat hoekpunt, acht bolhoeken. We weten dat de boog van een hoekpunt naar het middelpunt de hoek van een regelmatige bolveelhoek (hier met grootte 72°) in twee even grote bolhoeken verdeelt. Van zes van de acht genoemde bolhoeken (met als hoekpunt punt 3 uit de figuur) kennen we daarmee de grootte: 36°. [In de figuur zijn die hoeken met * aangegeven.]  De bolhoeken met hoekpunt 3 aan eenzelfde kant van de halve lengtecirkel hebben een gezamenlijke grootte van 180°. Bijgevolg kennen we ook de grootte van de twee overblijvende bolhoeken van de acht: 72°, zijnde 180-(3x36). [In de figuur aangegeven met  **.]  De bolvijfhoek A-B-C-D-E bestaat dus uit vijf gelijkbenige boldriehoeken waarvan de even lange zijden [in streepjeslijn in de figuur] even grote bolhoeken (grootte: 72°) insluiten. Alle zijden van die bolvijfhoek zijn bijgevolg even lang.

Voor de elf andere bolvijfhoeken is de toestand symmetrisch en zijn de conclusies dus dezelfde. Bijgevolg hebben de twaalf bolvijfhoeken even lange zijden.

*