17 March 2017

De gulden snede is overbodig

(Bijgewerkt op 25 maart 2018.)

Volgens Kepler (hier) is de Stelling van Pythagoras een klomp goud en de gulden snede een edelsteen. Zoals vaker bij Kepler is zijn beeldspraak gezocht en niet zeer consequent. Zo schrijft hij op meerdere plaatsen dat de gulden snede nodig is voor het twaalfvlak en het twintigvlak. Zeer velen zijn er, met hem, van overtuigd dat de gulden snede onmisbaar is voor de regelmatige vijf- en tienhoek, en voor het regelmatig twaalf- en twintigvlak. Dat is niet zo, zoals hieronder zal blijken.

De gulden snede herleid tot Pythagoras.

Volgens Euclides is een lijnstuk 'verdeeld in uiterste en middelste reden' als het kleinste stuk k en het grootste stuk g voldoen aan

k/g = g/(k+g).

Deze gelijkheid is equivalent met haar omgekeerde,

g/k=1+k/g,

met de notatie k/g=φ is dat

1/φ=1+φ.

Het 'gulden getal' φ kan men dus rekenkundig definiëren als: het enige positieve getal waarvoor 'omkeren' hetzelfde betekent als '1 bijtellen'. De bovenstaande gelijkheid (een vierkantsvergelijking) heeft als oplossing

φ=(√5-1)/2.

Hiermee is de kous eigenlijk al af. Pythagoras levert immers √5 (schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1 en 2), en de rest is opsmuk. Alle meetkundige constructies waarin men de gulden snede gebruikt kan men dus ook uitvoeren met Pythagoras alleen, zonder de gulden snede zelfs te vernoemen.

De regelmatige vijf- en tienhoek.
 
In een regelmatige vijfhoek komen veel gulden verhoudingen voor, met name is dat de verhouding tussen de zijde en een diagonaal. Dat betekent niet dat de gulden snede onvermijdelijk is bij de constructie.



In de regelmatige zeshoek is √3 de overeenkomstige verhouding, maar er zullen er maar weinigen zijn die de zeshoek in een cirkel construeren met Pythagoras (eerst √2 als schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden 1,1 dan √3 als schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden 1,√2, en daaruit de eigenlijke zeshoek). De voor de hand liggende constructie is veel eenvoudiger, want de zijde van de ingeschreven zeshoek is gewoon de straal, en dat volgt uit de eigenschap dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is. Zo ook met de regelmatige vijf- en tienhoek: de gulden snede is latent sterk aanwezig, maar dit hoeft niet te betekenen dat zij onmisbaar is bij de constructie. 

Stelling 1. sin 18°=φ/2.


Bewijs 1 (meetkunde van gelijkvormige driehoeken). 
We gaan uit van een gelijkbenige driehoek ABC met opstaande zijden 1 en hoeken 36°,72°,72°, en noteren AB=x. Verlengen we AB met BD=1, dan vormen we een driehoek DAC, eveneens met hoeken 36°,72°,72°. De twee driehoeken zijn dus gelijkvormig. De verhouding van de lange op de korte zijde is in de eerste driehoek 1/x en in de tweede (1+x)/1, en 1/x=1+x impliceert dat x=φ. De halve tophoek van ABC heeft dus een sinus gelijk aan φ/2.

Bewijs 2 (goniometrie). Is α=18°, dan is 2α=90°-3α, dus sin 2α=cos 3α, m.a.w. 2 sin α cos α = 4 cos3α-3 cos α. Na delen door cos α leidt cos2α= 1-sin2α tot een vierkantsvergelijking voor sin α, waaruit als oplossing sin α=(√5-1)/4.

Gevolg.  cos 36°=Φ/2, zoals volgt uit cos 36°=1-2 sin2 18°=(√5+1)/4.

In de cirkel met straal 1 heeft de regelmatige tienhoek, die een middelpuntshoek van 36° heeft, een zijde 2 sin 18°=φ. Heeft men een regelmatige tienhoek geconstrueerd, dan heeft men dus de facto ook een gulden snede op de straal uitgevoerd.

Daarentegen heeft de regelmatige vijfhoek, die een middelpuntshoek van 72° heeft, een zijde 2 sin 36°, waarvoor men de waarde vindt die in de bovenstaande figuur rechts aangegeven is. De gulden snede komt daarin niet op een herkenbare wijze voor. Een φ-loze constructie van de regelmatige vijfhoek blijft dus denkbaar, en we laten er hieronder een volgen. Enkel de stelling van Pythagoras wordt gebruikt.

Stelling 2. Beschouw de punten O=(0,0), A=(1,0), P=(0,1/2) en X=(-1/4,0). Noem de snijpunten van de cirkel met middelpunt X door P met de x-as: Q,R. Dan snijden de evenwijdigen aan de y-as door Q en R de eenheidscirkel in 4 punten die samen met A een regelmatige vijfhoek vormen.


Bewijs. Door de stelling van Pythagoras is XP=√5/4, zodat de coördinaten van Q,R zijn zoals hieronder in (1). (Men kan hierin φ/2 en Φ/2 herkennen, gulden sneden van de halve straal.)


Door combinatie met x2+y2=1 volgen de coördinaten van B en C zoals gegeven in (2). Met deze coördinaten vindt men zonder moeite de afstanden gegeven in (3). Hieruit blijkt dat ABCDE een regelmatige vijfhoek is.


Het regelmatig twaalf- en twintigvlak. 

Voor het twaalf- en twintigvlak gelden dezelfde bemerkingen als voor de vijf- en tienhoek: de figuren bevatten de gulden snede op vele plaatsen, Euclides voert de constructie inderdaad uit met behulp van de gulden snede, maar dat betekent niet dat zij onmisbaar is.

Stelling 3. Het regelmatig twintigvlak is construeerbaar met passer en liniaal.

Bewijs 1 (meetkundig).



In de meetkundeboeken voor het middelbaar onderwijs 'van toen' werd het regelmatig twintigvlak in elkaar gezet zonder enige verwijzing naar de gulden snede. (Hier de relevante bladzijden uit mijn eigen schoolboek, uitgegeven in 1959, waaraan ook de bovenstaande figuur ontleend is.)

Bewijs 2 (analytische meetkunde). Bekijk de bol met middelpunt (0,0,0) en straal 1, en daarop: tien halve lengtecirkels (telkens 36° verschil in lengte) en twee breedtecirkels, in vlakken die 1/√5 boven resp. onder het vlak van de evenaar liggen. Kies een snijpunt van een halve lengtecirkel en een breedtecirkel, een volgend punt op de volgende halve lengtecirkel maar op de andere breedtecirkel, enzovoort. Op deze manier eindigt men met tien punten, waar  de noord- en de zuidpool bijgevoegd worden. Deze twaalf punten vormen twintig congruente gelijkzijdige driehoeken.


Bovenste figuur: bepaling van twaalf punten 1,2,...,12 op de bol. (De punten 5,6,10,11 aan de achterkant van de bol zijn niet weergegeven.) De onderste figuur is een bovenaanzicht van de bol met de punten 1,2,3,7.

 De twee breedtecirkels hebben een straal ρ=√(1-1/5)=2/√5. Bekijken we twee naburige punten van de twaalf, dan kunnen zij op dezelfde halve lengtecirkel liggen (b.v. 1,2), op dezelfde breedtecirkel (b.v. 2,3), of noch het een noch het ander (b.v. 2,7). In de drie gevallen volgt  het hoogteverschil onmiddellijk uit de hoogte van de vlakken van de breedtecirkels, en (Δz)2  is respectievelijk (1-1/√5)2, 0 en (2/√5)2.

 Voor  (Δx)2+(Δy)2 mogen we in de punten 1,2,3,7 de derde coördinaat door 0 vervangen, hetgeen punten 1',2',3',7' in het vlak z=0 oplevert. Voor het puntenpaar 1,2, dan 2,3 en ten slotte 2,7 is (Δx)2+(Δy)2  dus respectievelijk: ρ2,  4ρ2sin236°, en 4ρ2sin218°. Voor de gekwadrateerde afstand (Δx)2+(Δy)2+(Δz)2  komt er respectievelijk


Uitgewerkt is het eerste gelijk aan 2(1-1/√5). M.b.v. sin18°=(√5-1)/4 vindt men voor het tweede en het derde hetzelfde. Bijgevolg zijn de twaalf punten de hoekpunten van twintig gelijkzijdige boldriehoeken waarvan de zijden (30 in totaal, namelijk twintig driehoeken waarvan elke zijde gemeenschappelijk is met een aanpalende driehoek) éénzelfde lengte hebben.


Stelling 4. Het regelmatig twaalfvlak is construeerbaar met passer en liniaal.

Bewijs 1 (meetkundig).

(Volledige uitwerking in hoger vernoemd schoolboek, hier.)

Bewijs 2 (analytische meetkunde) We bekijken van de twintig congruente gelijkzijdige driehoeken die hierboven geconstrueerd zijn de vijf die in de noordpool samenkomen. Een rotatie om de z-as van 72° beeldt elk daarvan op de volgende af, en hetzelfde gebeurt met de middelpunten van die driehoeken. Die vijf middelpunten liggen dus in een horizontaal vlak en vormen de hoekpunten van een vlakke regelmatige vijfhoek. Door rotaties kan men elk van de elf andere punten in de positie van de noordpool brengen.Voor elk van de twaalf punten zullen de middelpunten van de vijf driehoeken die in dat punt samenkomen een congruente vlakke regelmatige vijfhoek vormen. De overeenkomstige vijfhoeken zijn eveneens congruent.

Opmerking. Vollediger uitwerking in Wiskunde vanaf nul, derde editie.

*