De meest complexe, performante en ondoorgrondelijke structuur die wij, mensen, kennen bevindt zich onder de schedel van elk van ons: het menselijk brein. Daarin speelt zich o.m. het verbluffende proces af dat wij 'bewustzijn' noemen, een onbegrijpelijk terugkoppelingsmechanisme waardoor iedereen zijn 'ik' onderscheidt van 'de rest van het heelal'. Ik zou niet bij machte zijn dit mechanisme toe te lichten, en al helemaal niet op grond van persoonlijke ervaringen. Dat is wel het geval met twee andere aspecten: één positief in zijn uitwerking (deze aflevering), het andere negatief (een volgende keer).
Zoals ik hier uit de doeken gedaan heb: ik vele tientallen jaren wiskundig onderzoek verricht en les gegeven in het onderdeel Analyse. Per semester gaf ik twee of drie cursussen. Op een nacht—tien, vijftien jaar geleden?—werd ik in volle slaap wakker met de duidelijke gedachte: 'dit is fout', daarbij denkend aan een bepaald bewijs in een van mijn cursussen. Ik heb naast mijn bed potlood en papier liggen om gedachten te fixeren tot 's morgens (anders blijven ze rondtollen) en ik noteerde dat. Toen ik opstond en de betreffende cursus opsloeg, vond ik inderdaad dat de redenering van dat bewijs niet in orde was—niet een of andere typfout, maar een redeneerfout die remediëring behoefde. Het merkwaardigste komt nog: dat was niet het onderwerp dat in mijn lessen van die dag of die week aan de orde was of zou komen, maar het ging om een cursus die ik dat semester niet eens moest geven! De enige verklaring is dus, dat die cursus (van het volgende of vorige semester) 's nachts in mijn brein afgespeeld was, bij die passage even teruggespoeld met de 'gedachte': hoho, is dat wel zo? grondiger 'bekeken' en inderdaad fout bevonden. Dit proces, dat men niet anders dan 'creatief' kan noemen, speelde zich dus in mijn slaap af.
Ik heb die correctie, die mij in mijn slaap is aangewaaid, in mijn cursus van het voorafgaand semester aangebracht met het oog op latere verwerking, en ik heb er ook de omstandigheden bij genoteerd. Helaas! Na mijn pensionering heb ik van die tientallen cursussen alleen de laatste versies bewaard, en in mijn opruimwoede heb ik ook het exemplaar met de vreemde annotitie weggegooid.
Met de technologie van onze tijd moeten we deze werking van ons brein vergelijken met een computerprogramma dat 'op de achtergrond' draait, zonder dat de eindgebruiker zich daarvan bewust is, of hij moet met opzet 'onder de motorkap' gaan kijken. Iedereen kent het fenomeen trouwens in de vorm 'het zal mij wel invallen'. Men gaat dan over op iets anders en inderdaad, na verloop van tijd komt het zoekprogramma op de achtergrond doorgaans met het antwoord, en breekt daarbij gewoon door het programma op de voorgrond, waar we ondertussen actief mee zijn.
Zeer relativerend en vanuit het juiste zeer nederig perspectief wil ik in dit verband ook het Indisch wiskundewonder Srinivasa Ramanujan (1887-1920) vernoemen. De man, die geen formele wiskundige scholing had genoten in Madras (die werd hem later in Cambridge verstrekt), had een onvoorstelbare wiskundige intuïtie en produceerde grote aantallen van de vreemdste formules. Volgens een hardnekkige anekdote schreef hij zijn wiskundige inspiratie toe aan de hindoegodin Namagiri, die hem in zijn dromen allerlei formules mededeelde. Betrouwbare bronnen heb ik daarvoor niet kunnen vinden. In de Ramanujan-biografie van Robert Kanigel: The man who knew infinity (Washington Square Press 1991) vinden we enkel (op blz. 281, hier)
De eerste term van die reeks geeft π met zes cijfers na de komma correct, en elke nieuwe term voegt daar acht correcte cijfers bij. Onder zijn faits-divers ook deze benaderde cirkelkwadratuur uit 1914:
(Hier volledig toegelicht.)
Het programma op de achtergrond
Zoals ik hier uit de doeken gedaan heb: ik vele tientallen jaren wiskundig onderzoek verricht en les gegeven in het onderdeel Analyse. Per semester gaf ik twee of drie cursussen. Op een nacht—tien, vijftien jaar geleden?—werd ik in volle slaap wakker met de duidelijke gedachte: 'dit is fout', daarbij denkend aan een bepaald bewijs in een van mijn cursussen. Ik heb naast mijn bed potlood en papier liggen om gedachten te fixeren tot 's morgens (anders blijven ze rondtollen) en ik noteerde dat. Toen ik opstond en de betreffende cursus opsloeg, vond ik inderdaad dat de redenering van dat bewijs niet in orde was—niet een of andere typfout, maar een redeneerfout die remediëring behoefde. Het merkwaardigste komt nog: dat was niet het onderwerp dat in mijn lessen van die dag of die week aan de orde was of zou komen, maar het ging om een cursus die ik dat semester niet eens moest geven! De enige verklaring is dus, dat die cursus (van het volgende of vorige semester) 's nachts in mijn brein afgespeeld was, bij die passage even teruggespoeld met de 'gedachte': hoho, is dat wel zo? grondiger 'bekeken' en inderdaad fout bevonden. Dit proces, dat men niet anders dan 'creatief' kan noemen, speelde zich dus in mijn slaap af.
Ik heb die correctie, die mij in mijn slaap is aangewaaid, in mijn cursus van het voorafgaand semester aangebracht met het oog op latere verwerking, en ik heb er ook de omstandigheden bij genoteerd. Helaas! Na mijn pensionering heb ik van die tientallen cursussen alleen de laatste versies bewaard, en in mijn opruimwoede heb ik ook het exemplaar met de vreemde annotitie weggegooid.
Met de technologie van onze tijd moeten we deze werking van ons brein vergelijken met een computerprogramma dat 'op de achtergrond' draait, zonder dat de eindgebruiker zich daarvan bewust is, of hij moet met opzet 'onder de motorkap' gaan kijken. Iedereen kent het fenomeen trouwens in de vorm 'het zal mij wel invallen'. Men gaat dan over op iets anders en inderdaad, na verloop van tijd komt het zoekprogramma op de achtergrond doorgaans met het antwoord, en breekt daarbij gewoon door het programma op de voorgrond, waar we ondertussen actief mee zijn.
Zeer relativerend en vanuit het juiste zeer nederig perspectief wil ik in dit verband ook het Indisch wiskundewonder Srinivasa Ramanujan (1887-1920) vernoemen. De man, die geen formele wiskundige scholing had genoten in Madras (die werd hem later in Cambridge verstrekt), had een onvoorstelbare wiskundige intuïtie en produceerde grote aantallen van de vreemdste formules. Volgens een hardnekkige anekdote schreef hij zijn wiskundige inspiratie toe aan de hindoegodin Namagiri, die hem in zijn dromen allerlei formules mededeelde. Betrouwbare bronnen heb ik daarvoor niet kunnen vinden. In de Ramanujan-biografie van Robert Kanigel: The man who knew infinity (Washington Square Press 1991) vinden we enkel (op blz. 281, hier)
Volgens T.K. Rajagopolan, voormalig hoofdaccountant in Madras, benadrukte Ramanujan altijd dat hij in zijn dromen eerst de bloeddruppels zag die volgens de traditie de aanwezigheid aankondigden van de god Narasimha, goddelijke gemaal van de godin Namagiri, en dat daarna boekrollen met de ingewikkeldste wiskunde zich voor zijn ogen ontrolden.Er staat voor één keer een naam van een 'informant' bij, maar (zoals dat gaat met onbetrouwbare of apokriefe anekdotes) hier is de nachtelijke inblazer niet Namagiri maar Narasimha. De anekdote kan ook gegroeid zijn uit een andere, waarbij Namagiri droomsgewijze aan Ramanujan (of aan diens moeder, in een andere versie) 'toestemming' gaf voor vertrek naar Engeland. In elk geval, de formules van Ramanujan mogen er zijn. Zoals bijvoorbeeld deze, uit 1910, elegant en verbazend als een vliegende olifant:
(Hier volledig toegelicht.)
*
(vervolgt met het negatieve deel 2)