Gezichtsbedrog voor gevorderden

Gezichtsbedrog ontstaat wanneer de hersenen in de war gebracht worden door misleidende of dubbelzinnige visuele informatie. Dat laatste is alleszins niet het geval met de onderstaande figuur.

We zien een z.g. vijfvlak, bestaande uit een driehoekig grondvlak (onzichtbaar), een driehoekig bovenvlak, en drie vierhoekige zijvlakken (het achterste van de drie onzichtbaar). Althans, dat denken wij te zien, want het is een illusie. Er bestaat nl. geen enkel vijfvlak dat er zo uitziet. Inzien—louter cerebraal— kan men dit als volgt.

Noemen we de vlakken waarin de vierhoeken liggen α, β en γ, dan liggen de drie opstaande ribben op de rechten α∩β, β∩γ en γ∩α. Elke twee van die drie rechten liggen in hetzelfde zijvlak, en hebben dus een niet-ledige doorsnede α∩β∩γ (hun snijpunt, of het 'punt op oneindig' als ze evenwijdig zijn).  Maar dat is ook de doorsnede van de drie rechten, die dus in 1 punt samenlopen (of evenwijdig zijn). In de figuur zijn de opstaande ribben duidelijk noch evenwijdig noch samenlopend—een onmogelijkheid.

Een echt vijfvlak bestaande uit 2 driehoeken + 3 vierhoeken ziet er dus als volgt uit:

of (als de opstaande ribben evenwijdig in plaats van samenlopend zijn) als volgt:

Er bestaat nog een derde type vijfvlak, met een vierhoekig grondvlak en vier driehoeken als zijvlakken:

Van boven naar onderen zien we: een afgeknotte driezijdige piramide, een afgeknot driezijdig prisma en een vierzijdige piramide. Andere vijfvlakken dan deze drie modellen bestaan er niet. Hier een elementair bewijs van deze bewering. Omwille van de volledigheid wordt vooraf de stelling van Euler voor veelvlakken bewezen. Bonus!