26 April 2013

Gulden Snede, Fibonacci en andere quatsch (3)

Vervolg van quatsch 2



















 Wat Φ zeker niét is


In het linkse boek wordt het verbluffendste getal op aarde (toe maar) omschreven als

het "irrationaalste" onder de irrationalen.

Eén ding is zeker: dit kan niet kloppen. Niemand ter wereld zal (1+√5)/2 'irrationaler' noemen dan π. Het eerste voldoet aan een zeer eenvoudige vierkantsvergelijking  en is daarmee een 'algebraïsch' getal; het tweede is een 'transcendent' getal en zit daarmee in een veel 'diepere' categorie. Trouwens, een getal is rationaal of irrationaal, en kan dat niet in meerdere of mindere mate zijn. Men spreekt toch ook niet van 'het meest oneven getal'? Laten wij deze eretitel dus maar opbergen in het uitgebreide arsenaal van de verhitte Φ-fantasieën. Voor het vervolg citeren we uit het rechtse boek, HW, waarmee we opnieuw in de wetenschap belanden. (Hoofdstuk X hier of hier.)


Wat Φ-1 wél is

We definiëren de volgende procedure, toe te passen op een getal x≥0.

stap 1. Splits x in het deel vóór de komma, a, en het deel na de komma, b.
stap 2. Stop als b=0, zoniet: neem 1/b als nieuwe x, en ga naar stap 1.

Men vindt op die manier een eindig of oneindig aantal natuurlijke getallen a0, a1, ...  met a0 eventueel nul, maar alle andere minstens 1. Wij gebruiken de notatie 

x=[a0,a1,a2] of x=[a0,a1,a2, ...]

naargelang er een eindig aantal zijn (in ons voorbeeld: drie) of een oneindig aantal. We noemen die uitdrukking een kettingbreuk. Eindigt een kettingbreuk op een getal dat steeds herhaald wordt, dan noteren we dat slotgetal overstreept. Met wat hulp van deze automaat vinden we de voorbeelden:

Dat Φ zo'n eenvoudige kettingbreuk heeft volgt uit het feit dat Φ=1+(1/Φ). Volgens de procedure is de eerste a=1 en de eerste b=1/Φ, waarvan de omkering opnieuw Φ is. Men vindt dus een eindeloze herhaling van a=1. Eindelijk kunnen we nu Φ in verband brengen met een markante wiskundige eigenschap:

Φ-1 is het irrationaal getal met de eenvoudigst mogelijke kettingbreuk 
(0 als eerste getal en voorts een oneindige herhaling van 1).

Als de rij a0, a1, ...  zich regelmatig gedraagt en niet te groot wordt, dan kan [a0,a1,a2, ...] redelijkerwijze als 'eenvoudig' beschouwd worden (HW blz. 209). Vanuit dat standpunt is Φ-1 dus het eenvoudigste irrationaal getal. Het feit dat het ook beschreven wordt als meest irrationaal getal bewijst dat deze kwalificaties zeer relatief zijn; zie overigens de genuanceerde manier waarop die 'eenvoud' door HW beschreven wordt. Voor zover ik weet bestaat er geen ordening van kettingbreuken volgens 'eenvoud'. Ordent men ze zoals in een woordenboek, dan komt [0,1,2] vóór [0,2], zodat 2/3 'eenvoudiger' zou zijn dan 1/2.


Benaderingen met breuken

Het is kinderspel om van een irrationaal getal een rationale benadering te geven met een voorop gegeven precisie. Wilt u een breuk die π benadert op vier cijfers na de komma? Neem  31415/10000, gewoon af te lezen uit de decimale voorstelling van π. Maar kettingbreuken laten toe, een gegeven getal spectaculair goed te benaderen met eenvoudige breuken, d.w.z., breuken met kleine noemers, namelijk

Voor π zijn die opeenvolgende benaderingen: 3,  22/7=3.14285...(2 cijfers na de komma correct), 333/106=3.14150... (4 cijfers na de komma correct), enzovoort. Men kan bewijzen dat de benaderingen die men uit de kettingbreuk haalt optimaal zijn in de volgende betekenis: om een betere benadering te vinden moet men de noemer vergroten. (HW Thm. 181) In de helft van de gevallen gaat deze eigenschap niet op voor de eerste benadering, a0. Voor Φ-1 is die 0, met fout +0.618..., terwijl 1 een gehele benadering met fout -0.381... is.

Uit de kettingbreuk haalt men als beste benaderingen

voor Φ-1: 0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, ...
voor Φ   : 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...

De derde benadering voor Φ-1 is 0,5 (geen enkel cijfer na de komma correct), terwijl de derde benadering voor π al vier cijfers na de komma correct had. Voor Φ(-1) zijn de 'beste benaderingen' dus beduidend slechter dan voor 'ingewikkelder' getallen als π. De reden is: wat rationale benadering betreft zijn de eenvoudigste getallen het slechtst (HW blz. 209).


 Wat Φ(-1) misschien zou kunnen zijn, maar niet is


In Les Nombres Remarquables komt Φ voor als 'het getal dat zich het slechtst met breuken laat benaderen'. Wat betekent deze kwalitatieve omschrijving eigenlijk? Het ligt eraan of men alle beste benaderingen bekijkt (dus vanaf de eerste) dan wel het gedrag van de rij beste benaderingen (dus enkel op lange termijn). In beide gevallen blijkt dat er niets unieks is aan Φ of Φ-1.

1. er zijn getallen waarvoor alle beste benaderingen (met breuken met opeenvolgende noemer hoogstens 1,2,3,4,... ) even slecht zijn als voor Φ en Φ-1. Dat is het geval voor het positief getal 2-Φ=0.381... dat kleiner dan Φ-1=0.618... is. 




 2. er zijn getallen waarvoor de rij beste benaderingen (met breuken met opeenvolgende noemer hoogstens 1,2,3,4,... ) even traag convergeert als voor Φ en Φ-1. Dat is het geval voor het positief getal (2-Φ)/(3-Φ)=0.276... dat kleiner dan Φ-1=0.618... en 2-Φ=0.381... is.


Deze grafiek toont in het rood: de afwijking tussen Φ en de beste breuk met noemer hoogstens 1,2,...,20. In het groen hetzelfde voor (2-Φ)/(3-Φ). Afhankelijk van de noemer is nu eens de ene en dan weer de andere beter of slechter. Asymptotisch, d.i. op lange termijn, is de benadering voor beide even goed. (Dat is een algemeen zo voor (aΦ+b)/(cΦ+d) met a,b,c,d geheel en |ad-bc|=1. Zie HW 10.11)

De belangstelling voor de slechtste van de beste benaderingen is overigens eigenaardig. Maar voor wie gelooft dat Φ een mystiek getal is, dat bij voorkeur slecht benaderd moet worden:

er zijn vele rijen breuken die Φ of Φ-1 slechter benaderen dan de rijen die men uit de rij van Fibonacci haalt. 

I.p.v. de linkse kolom breuken hieronder (die naar Φ convergeert) kan men bijvoorbeeld de rechtse kiezen (elke teller afwisselend met 1 verminderd resp. vermeerderd):

1                      ->     0
2/1                   ->     3
3/2=1.5            ->     2/2=1
5/3=1.666...     ->     6/3=2
8/5=1.6            ->     7/5=1.4
13/8=1.625      ->     14/8=1.75
21/13=1.615... ->     20/13=1.538...                    
34/21=1.619...  ->    35/21=1.666...

De nieuwe benaderingen zijn systematisch slechter dan de oude (en vaak veel eenvoudiger, na vereenvoudiging), en de rij convergeert eveneens naar Φ.