15 March 2013

Gulden Snede, Fibonacci en andere quatsch (2)

Vervolg van quatsch 1.
Formularium


Een familie rijen met bepaalde eigenschappen

Er zijn twee meetkundige rijen met de eigenschap dat elke term, vanaf de derde, de som is van de twee voorafgaande termen: (2) en (3), waarbij Φ het getal in (1) is.  Maar er zijn oneindig veel andere (niet-meetkundige) rijen met die eigenschap. Neemt men namelijk twee willekeurige van nul verschillende getallen a en b dan heeft de rij in (5) —in het vakjargon een 'lineaire combinatie' van de rijen (3) en (4)— die eigenschap.

Elk van die oneindig vele rijen heeft automatisch de volgende eigenschap: deelt men een term door zijn voorganger, dan komt dit quotiënt dichter en dichter bij Φ. De reden is eenvoudig: 1-Φ is in absolute waarde kleiner dan 1, en wordt dus kleiner door machten te nemen. Is de macht groot genoeg, dan is het resultaat bijna nul. Als we ver genoeg in de rij (5) vorderen, dan hebben de termen zeer goede benaderingen zoals in (6); elke term is dan bij benadering de vorige term vermenigvuldigd met Φ. De correcte vorm van deze eigenschap is de limiet in (7).

Men kan a en b gebruiken om uit die vele rijen met model (5) er eentje te kiezen dat aan twee extra voorwaarden voldoet. Men kan bijvoorbeeld eisen dat de eerste twee termen bepaalde natuurlijke getallen zijn (bijvoorbeeld: 4 en 7), wat meebrengt dat alle termen natuurlijke getallen zullen zijn. De allereenvoudigste keuze is: de eerste term  0, de tweede 1. De voorwaarden zijn dan die van (8), waaruit men de a en b haalt die in (9) staan. De resulterende rij staat in (10) of —doorzichtiger genoteerd— in (11). Het is 

de rij getallen beginnend met 0 en 1 waarin elke volgende term
 de som is van de twee voorafgaande termen.  

Zij heeft de eigenschap:  

deelt men een term door zijn voorganger, 
dan komt dit quotiënt dichter en dichter bij Φ

 maar alle rijen van model (5) hebben die eigenschap. Eentje daarvan, met lukraak gekozen begintermen 4 en 7, staat in (12).

Fibonacci

De rij in (11) is genoemd naar Fibonacci, die haar introduceerde aan de hand van een simpel biologisch model voor de groei van een konijnenpopulatie. Het model berust op onrealistische aannames en is bijgevolg onbruikbaar; het had dan ook enkel een didactische bedoeling.

De rij van Fibonacci wordt in één adem vernoemd met de Gulden Snede en mag zich in dezelfde losgeslagen belangstelling verheugen. Met het weerleggen van de talloze verzinsels beginnen we in de volgende aflevering, en wel in