13 March 2013

Gulden Snede, Fibonacci en andere quatsch (1)

Formularium

Dit zijn de formules waarnaar hieronder verwezen wordt:


Twee bijzondere meetkundige rijen

 Een meetkundige rij  is een rij getallen die er uitziet als (1): zij begint met 1 en elke nieuwe term ontstaat door de vorige te vermenigvuldigen met een vooraf gekozen vast getal r.

We bekijken de vraag of men r zo kan kiezen, dat elke term —vanaf de derde— de som is van de twee termen die eraan voorafgaan. We wensen dus dat de gelijkheden (2) zouden gelden. De eerste voorwaarde volstaat, want de andere gelijkheden volgen daaruit. De voorwaarde  is dus, dat r zou voldoen aan de vierkantsvergelijking (3). Deze vergelijking heeft twee oplossingen met een tegengesteld teken (want het product van de wortels is -1) en met som 1. Expliciet zijn de twee oplossingen: (4) en (5).

Er zijn dus twee meetkundige rijen die aan de opgave voldoen, nl. (6) en (7). Die oplossingen zeggen niet veel, maar de vraag was ook nogal kunstmatig; in een meetkundige rij vordert men door te vermenigvuldigen, terwijl de voorwaarde iets met optelling was.

Φ in de meetkunde

 Het getal dat wij met Φ aanduiden komt in de wiskunde niet vaak voor, en heeft dan ook geen gestandaardiseerde notatie, zoals π die wel heeft. Deze π is geboren in de griekse meetkunde maar  duikt in talloze niet-meetkundige formules op, b.v., formules van levensverzekeringen. Ook Φ komt in enkele uiteenlopende contexten voor, maar op zeer bescheiden schaal. Dat is het geval in de goniometrische formule (8). Die formule dankt haar bestaan aan het feit dat het linkerlid van (8) voldoet aan de vierkantsvergelijking (9), zoals uit enkele regels eenvoudige goniometrie (hier) volgt. De formule (8), voluit geschreven de laatste formule in (10), is niet verrassender of merkwaardiger dan de eerste twee formules van (10). 

Een regelmatige vijfhoek heeft binnenhoeken van 108°. Hebben de zijden een lengte 1, dan heeft een diagonaal dus de lengte gegeven in (11). (Elementaire trigonometrie, zie figuur rechts.)


Dit resultaat is niet verrassender of merkwaardiger dan de analoge resultaten voor een vierkant of een zeshoek (figuren links en midden). Het verband tussen Φ en de regelmatige vijfhoek hebben de oude Grieken louter meetkundig ontdekt, en gebruikt voor de constructie (met passer en liniaal) van de regelmatige vijfhoek en het regelmatig twaalfvlak (bestaande uit twaalf vijfhoeken). Zij hadden geen eigenlijk getalbegrip, en bij hen was Φ de verhouding van twee lijnstukken. Aan die verhouding of dat getal heeft men in de renaissance het adjectief goddelijk gekoppeld, en in de negentiende eeuw de term gulden. Vandaar gulden snede, verhouding of getal.

De quatsch

Over de gulden snede leest men al enkele eeuwen de grootste onzin, zelfs in wetenschappelijke werken. Weinigen nemen blijkbaar de moeite om de vele spectaculaire beweringen kritisch te beoordelen, laat staan te toetsen, maar geven kritiekloos door wat zij zelf ergens gelezen hebben. Zij hadden beter


gelezen (1998, tweede druk 1999). Vierhonderdertig bladzijden goed gedocumenteerde kritiek, ondertussen aangevuld met andere kritische geluiden waarnaar wij nog zullen verwijzen. Want dit is pas aflevering 1 in de

GULDEN SAGA

die vervolgt met